新型コロナウイルスの感染収束に必要なPCR検査件数についての考察
長らくご無沙汰しました。Yogin（荻野喜清)です。私は昨年、コロナウイルスの感染収束挙動について考察し、感染を早期に収束させるためには大規模なPCR隔離検査が必要であることを主張しました１）。しかし現実には行われず、自粛対策と、クラスターや濃厚接触者を追跡することに終始してきました。
その結果、我が国においては現在（2021年6月中葉）、第4波からさらに感染力の強いデルタ変異株による第5 波に襲われています。最近はようやく収束に向かい、緊急事態宣言も解除されましたが、第6波へのリバウンドが懸念されています。
そこで今回は、今後の感染対策の一助にもと、前報の考察で足りなかった問題、すなわち感染が疑われる人達を対象とする選択的検査の効用、感染を早期に収束させるに必要なPCR検査件数等についてより具体的に検討した結果を紹介させていただきます。
I.コロナウイルスの感染挙動を記述する簡単なモデル
前報1 ）と重複しますが、私が考察の基にした “簡単なモデル”について若干の補足を加え、もう一度説明します。
コロナウイルスに対する疫学的対策として、自粛と隔離があります。自粛はマスクの着用、会食や各種イベントの開催による人々の密集を避ける、などによるものです。隔離はPCR検査を主とする感染検査によって確認された陽性者を隔離保護することによって、感染の拡大を阻止しようとする対策です。
1.非隔離検査
はじめに、自粛対策のみがとられ、陽性者の隔離が行われない場合の感染挙動を考えます。1日1回、人口ｎ人の市民から選ばれた対象者S人に対して、PCR検査をします。
実際の市内には、たとえば各種イベント会場や事業所などにおけるクラスターの発生があるでしょう。しかしここでは、クラスターのような限られた場所における集団的な感染はなく、陽性者は市内に均一に分布していると仮定します。また、検出された陽性者は隔離せずに検査後直ちに市中に戻されるとします。したがって、隔離効果は全くありません2)。
基準として適当に選んだ初回検査（1回目（ｘ＝１）の検査）からx回目の検査（初回からx-1日後の検査）における検査件数をS(x), 検出された陽性者数をR(x)とすると、陽性率すなわち検出された陽性者の検査対象者数に対する割合は
ξ(x)= 100R(x)/S(x) (%) (1)
で与えられます。
市内における陽性者の分布は均一なので、
R(x)/S(x)= r(x)/n (2)
（r(x)は全人口n人中の陽性者数）
の関係が成立します。したがって、(1)式は
ξ(x)= 100r(x)/n (%) (3)
に等しくなります。
x日と、その前日における市内感染者数の比
α=r(x)/ r(x-1) （4）
を非隔離増殖率と呼びαで表します。非隔離増殖率は隔離などの操作なしに増殖するときの増殖率です。マスクの着用や手洗い、三密を避ける等の市民による自粛努力、ならびにウイルス自体の感染力、感染者自身の回復力、ワクチンの接種、効果的な薬剤の使用などに依存します。
x -1日からx日にかけての1日間における市内感染者の増減を
δr(ｘ)= r(x)－r(ｘ-１) (5)
と記すと、x日における市内感染者数は
r(x)＝r(ｘ-１)+δr(ｘ） (6)
となります。
δr(x）はx日における新規感染者数３)と新規回復および死者数からなり、次式で与えられます。
δr(x）＝δr(x)（新感）―δr(x）(新回、死） (7)
一方、x日の新規回復および死者数は、それぞれ前日の感染者数r(x-１)に比例すると仮定します。そこで、比例定数をそれぞれμおよびρとすると、
δr(x)＝r(x-1)(μ－ρ) (8)
となります。μを新規感染率、ρを新規回復率（死亡は省略）と呼びます。
（6）式と(8)式からx日の市内感染者数は
r(x)＝r(x-１)+δr(x）
＝r(x-１)[1+(μ-ρ)] (9)
となります。
(9)式の両辺をr(x-１)で割ると、非隔離増殖率αは
α＝r(x）/r(x-１) = 1+(μ－ρ) (10)
となります。μおよびρは、それぞれ前日の市内感染者一人当たりの新規感染者数および新規回復者数を 表します(図１)。 日にち(x)のある 区間において μと ρが一定のとき、その区間内でαは一定となります。
r(1)=1 (第1回目の検査(x=1)における陽性者数
r(2)=2 (第2回目の検査(x=2) における 陽性者数
= r(1) +δr(2)(新感) －δr(2)(新回、死)＝１+１－0＝２
r(3) = r(2)+δr(3)(新感)－δr(3)(新回、死)＝2 + 2－0＝４
r(4) = r(3) +δr(4)(新感) －δr(4)(新回、死)＝4 + 6 －2＝8
r(5)= r4 +δr5(新感) －δr5(新回、死)＝7+12－4＝15
図１ 非隔離検査における市内陽性者数の推移, (6)(7)式。初回検査（x=１）における１名の陽性者から、５日目(x＝５)には15名に増加する。
新規感染率μはウイルス本来の感染力、未感染者の感染感受性、ワクチンの 接種、生活習慣、マスクの着用、外出抑制などの自粛措置に依存します。新規回復力 ρ はウイルス本来の性質、感染者自身の回復力、ワクチンの接種、効果的な薬剤の使用などに依存します。
μ＝ρのとき、α＝１となり市内感染者数は一定に保たれます。μ＞ρのとき、α＞１となり感染者は日数とともに増加します。μ＜ρのときはα＜1となり、感染は収束に向います。
αが一定のときは、
r(x)＝r(1) αx-1 (11）
の関係が成立します。r(1)は初回（x=1）の検査における市内陽性者数です。
α>1のとき市内感染者数は日数とともに指数関数的に急増します。α＝1.104のとき、市内感染者数は1週間毎に倍増します。
(11)式の両辺の対数(自然対数。常用対数でもよい)をとると、
ln r(x)＝(x-1) lnα + ln r(1) (12)
となり、ln r(ｘ) とx-1の間にlnαの勾配をもつ直線関係が成立します。
(2)式が成立するときは、
R(x)/S(x)＝ r(x) / n＝r(1) αX-1 / n (13)
より陽性率は
ξ(x) ＝100R(x)/S(x)＝100 r(1) αX-1/ n (%) (14)
となります。両辺の対数をとると
ln ξ(x) ＝ln (100R(x) / S(x))
＝(x-1) lnα + ln ξ(1) (15)
ただし、ξ(1)＝100 r(1) / n (%) (16)
の関係が成立します。αが一定のとき、(15))式よりlnξ(x)とｘ-1の間に直線関係が成立し、その勾配から lnα、したがって非隔離増殖率 α が求められます。
2. 隔離検査
つぎに検査対象者を全市民から無作為に選ぶPCR検査において、検出された陽性者を隔離保護するときの隔離効果について考えます。今度は、市内にクラスターが発生する場合を含めて考えます。市内の限られた場所で発生したクラスターは、その陽性者全員が感染者として確認され隔離されることもあれば、その一部が市内に流出することもあります。そこでいま、隔離 されたクラスター感染者以外の［市民］（カッコつきで表示）から無作為に選んだ S人の［市民］についてPCR 隔離検査を行います。［市民］は［市内］に均一に分布していますから（2）式が成立します。したがって、S人の対象者について検査された平均の陽性率は全［市民］の平均陽性率に等しいとみなされます。
図2に隔離検査のときの［市内］陽性者数の日数による変化を示しました。
図2 隔離検査における[市内]陽性者数の変化(模式図)
大別して、β＞1、 β=１、β＜３の三つの場合があります。β＞1(α>1)の場合(図2の（１）)は隔離があっても陽性者が日数とともに増加します。[市内]陽性者数がr(x)のとき、PCR検査によって確認された陽性者R(x)人を隔離すると[市内]に残存する陽性者は
ｒ(x)’ ＝ｒ(x)－R(x) (17)
になります。この状態から1日後に、［市内］陽性者はｒ(x+1)に増殖します。ｒ(x)’ からr(x+１）への増殖は、非隔離増殖率αを用いて
r(x+1) = αr(x)’ （18）
となります。 (17)式を用いると、
r(x+1)=α{ｒ(x)－R(x)} （I9）
となります。
(2)式が満足されるときR(x) は
R(x)＝r(x) ( S /n) (20)
と表されます。この場合、人口nはx-1日までに隔離された陽性者を除いた［市内］人口ですが、全人口で近似します。
(I9)式と（20）式から、
β＝ｒ(x+1)/ｒ(x) ＝ α (１-S/n) (21)
の関係が成立します。比率βを隔離増殖率と呼びます。
β=１(α>1)のとき（図2の（2））、r(x)は一定に保たれます。β<1のときは、α<1とα>1の場合が含まれます(図2の(3),i,ii)。［市内］陽性者数r(x)は日数とともに減少します。これら全ての場合に(17)～(21)式が成立します。
βは非隔離増殖率αと検査件数Sが一定あるいは、検査率 (S/n)が十分に小さくβ≒αのときほぼ一定となります。そのとき、隔離検査におけるx日の[市内]陽性者数および隔離陽性率 について、それぞれ
ｒ(x) ＝ r(1)βX-1 (22)
ξ(x)＝ ξ(1) βX-1 (23)
ただし、 ξ(1)＝ 100 r(1)/n （24）
の関係が成立します。
（22）式および(23)式から、
lnｒ(x) ＝(x-1) lnβ + ln r(１) (25)
ln ξ(x)＝(x-1) lnβ + lnξ(1) (26）
の関係が得られます。 (26)式を用い、lnξ(x)と経過日数(x-1)の間の直線関係からlnβ,従ってβの値を求めることができます。
いま感染収束時における陽性率をξ*とすると、ξ(1)から ξ*へ収束するに要する日数は、(26)式から
x-1 ＝｛lnξ*－ ln ξ(1)｝/ ln β (27)
となります。
検査率（S/n）が十分に大きいとき、隔離増殖率βは大きく低下し、コロナ感染の収束日数は著るしく短縮されます1)。
3. 選択隔離検査
わが国においては、限られたPCR検査能力のもとで、感染者との濃厚接触者やすでに症状のある少数の市民を選択して検査を行い、陽性者を隔離してきました。検査対象者を陽性疑いの濃い者から選択的に選ぶこの種の検査を選択隔離検査（略して選択検査）と呼びます。その隔離効果について考察します。検査対象者は［市民］から選ぶこととします。
選択検査においては、［市民］から選ばれた検査対象者Sc人の陽性率 (以下選択陽
性率 ξCという)と無症状者を含めた［市民］の平均陽性率 (ξ)は一致しません。したがって(2)式は成立しません。
1日当たりSc人の［市民］［を対象とした選択検査において、非選択検査の時のR(x)人より多いRC(x)人の陽性者を検出し隔離保護したとします。x日における選択陽性率は
ξC(x)=100 RC(x)/Sc (%) (28)
となります。
図3 選択隔離検査における[市内]陽性者数の変化 ；βc<１、α<1の場合。(図2のR（x）がRC(x）に変わるだけなので、他の場合は省略)
図3に示すように、[市内]の全陽性者数がr(x)のときに選択検査を行うと、検査対象者Sc人中の陽性者RC(x）人は隔離保護され、[市内]陽性者数はr(x)’(=r(x)-RC(x))人に減少します。この状態から１日後には[市内]陽性者数はr(x+1)に増殖します。x+1日の検査によってRC(x+1）人が隔離保護され[市内]に残存する陽性者数はr(x+1)’人’になります…。
このようにして検査毎の隔離,増殖を繰り返して、[市内]陽性者数はr(x), r(x+1),r(x+2)…と変化します(図3)。ここで、[市内]陽性者数が隔離直後のr(x)’, r(x+1)’,…から1日後のr(x+1),r(x+2),…,へ移行するときの増殖率は、非隔離増殖率αに等しいとみなされます。そうすると、
α= r(x+１) / r(x)’＝ ｒ(x+1) /｛ｒ(x) - RC(x)｝ (29)
ｒ(x+1)＝ α｛ｒ(x) - RC(x)｝ (30)
の関係が成立します。
非選択隔離検査と選択隔離検査における陽性率の比
b ＝ξC (x) / ξ(x) (31)
を選択率と定義します。
両検査の検査件数をS およびSC とすると、両検査で検出された陽性者数が等しくＲ(x)＝ＲＣ(x）のときは
ｂ＝(RC /S C) / (R/S}＝S / SC (32)
となり、したがって
b SC ＝ S (33)
となります。
すなわち、同数（R（ｘ）＝RC（x））の陽性者を検出するに要する検査件数は、選択検査においては非選択検査のときの1/bになります。どちらにしても、［市内］の陽性者数（r(x)）に変わりはありません。そこで、(20)式に(33)式を代入すると、
RC(x) ＝ b S cr(x) / n (34)
となります。
ｎは正しくは全市民から前日までに隔離されている陽性者を差し引いた数ですが全人口で近似します。
(32)式を（30）式に代入すると
r(x+1)＝α r(x) { 1- (b Sc /n)} (35)
となります。ここで、選択検査におけるx日とx+1日の［市内］陽性者数の比
βC＝ｒ(x+1) / r(x)
＝ α{1- (b Sc /n)} (36)
を選択隔離増殖率(略して選択増殖率)と呼びます。S＝ｂSｃなので、βに等しくなりますが、選択的に対象者を選んだという意味でβと区別します。
βC>1のとき［市内］陽性者は日数とともに増加し、βC<1のときは減少し収束に向います。βC＝1のとき陽性者数は一定値に保たれます。
x＝１～x の区間において、βCが一定に保たれるときは、その区間内において
r(x) = r(1) βcx-1 (37)
の関係が成立します。
(23)式と (3１)式を用いて、ξC(x) は
ξC(x)＝b ξ(x)
＝b ξ(1) βX-1
＝ξC(1) βCX-1 (%) (38)
ただし、 ξC(1)＝b ξ(1) (39)
となります。両辺の対数をとると
ln ξC(x)＝(x-1) ln βC + ln ξC(1) (40)
となります。
βC が一定の 区 間においては、(40)式 から対数隔離陽性率lnξC(x)と経過日数（x－１）の間に直線関係がなりたち、その勾配からlnβCが求められます。
選択隔離増殖率βCがほぼ一定の区間内において、第1回目(x=1)の選択検査のときの陽性率ξC(1)が与えられたとき、選択陽性率がξC＊まで収束するに要する日数x-1は (40)式から
x-1={ln ξC*-ln ξC(1)} / ln βC （41）
となります。逆に、x-1日間で収束するときの選択増殖率は、
ln βC＝{ln ξC*-ln ξC(1)} / (x-1) （42）
から求められます。
βCが長期に亙って一定にならねばならない理由はありませんが、実際には数週間以内であればほぼ一定値とみなされる区間が生じます。その区間内においては(41）式あるいは(42)式が適用されます。
bが１から1000の間の一定値をとるときのβC/αとSc/nの関係を(36)式から求め図4aに示しました。
図４b に、Sc /nが種々の一定値をとるときのｂとβC /αの関係を示しました。
図4aから明らかなように、b が一定のとき、βC /αは選択検査率(Sc /n )が小さくなるとβC/α≒1の一定値に近づきます。βC /α≒１の区間では、隔離効果はほとんど無く、αが一定のときβCはほぼ一定になります。このときは(37)式が成立します。
またｂが大きくなるほどβC /αは低下しますが、その度合いは検査率Sc /nが大きくなるほど増大します（図4b）。
図4a b＝1～1000のときのSc /nとβc /αの関係（(36)式より計算）
図4ｂ 種々のSc /n 値におけるｂとβC/αの関係（(36)式より計算,
直線に付した数値はSc /n 値）
II. PCR検査の開始時期を早め、検査数と選択率を増やすこと
によって期待される感染収束効果
PCR検査体制を抜本的に拡充することの必要性は、これまでも一部の専門家によって度々指摘されてきました。
しかし一般国民、そして専門家の中においてさえ、その必要性を理解している人は少ないのではないでしょうか？
そこで以下において、阪神間のいくつかの自治体におけるPCR検査の結果を分析するとともに、PCR検査体制の抜本的充実とそれによってもたらされる感染の抑制効果について考察します。
１．対数陽性率からみた感染動向
対数陽性率（lnξC）と経過日数(x-1)の関係を、大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人)、兵庫県（n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）を例にとって図5に示します。期間は2020年3月9日から2021年 6月13日までです。対数陽性率は一週間毎の平均値、経過日数(ｘ-1)は一週間の中央日にとりました。同図には一週間当たりのPCR検査件数(ΔSc)と 新規陽性者数(ΔRC)も示しました。
図5 大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人）、兵庫県（ n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）における、コロナウイルス感染の対数陽性率と経過日数（2020年３月～2021年6月）の関係。ΔcSとΔRCはそれぞれ、1週 間当たりのPCR検査件数、および新規感染者数。1週間毎の平均陽性率はξC=(ΔＲC /ΔSc)×100 %. (4/11)(7.30)等はピークの月日を表す。
表１ 大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人)、兵庫県（n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）におけるコロナ感染第1～4波の感染過程（βC,1～βC,4）と収束過程（βC,1‘～βC,4‘ ）における増殖率。
表2 第1～4 波のピーク近傍における日毎検査率（Sc/n）の最大値
全体の経過は感染の第1波～第4波からなります。lnξc vs (x-1)の関係は、直線の連なりからなります。これらの阪神間の都市が人的、経済的に密接な関係にあるためか、変化の傾向は5自治体でよく似ています。
そこで、各波の都市間における対応関係を確かめるために、各波の感染過程と収束過程における増殖率を直線の勾配から求め (図5)、表１に纏めて示しました。
各波の増殖率は都市間でほぼ一致した値をとります。平均値でみると、第１，２波の感染過程において、増殖率（βC,1, βC,2,）は、1.071～1.083の高い値をとります。第1波の収束過程では、緊急事態宣言の効果によるものか（図５大阪府参照）、収束時増殖率(βC,1’)は0.904と低下します。しかし、第2波へリバウンド後の収束時増殖率(βC,2’)は0.965で、高い値になり、その後の変動においても、収束時増殖率は0.95以下には下がりません。
一方、すべての自治体において、新規感染者数（ΔRc）は第1波から第4波にかけて増減を繰り返しながらも全体として増加する傾向にあり、それに応じてPCR検査件数(ΔSc)も増加します。たとえば、大阪府を例にとれば、第1波ピーク時の1日当り検査件数(Sc=ΔSc /7)と1日当り新規感染者数(RC=ΔRC/7)はそれぞれ、403件/日および58人/日ですが、第4波のピークにおいては、それぞれ15023件/日および1127人/日に増加します。
選択隔離検査における隔離効果は(36)式にみるように、b(Sc/n)の値が大きいほど大きくなります（βC /αが低下する）。そこで、各自治体について、第１～4波のピーク付近における日毎検査率(Sc /n)の最大値を比較しました。
表2に示したように、各波の日毎検査率は各自治体において経過日数とともに、ほぼ同様に増加しています。平均値でみると、第１波における4.6×10-5から第4波における1×10-3まで増加します。
他方、選択率bについては、その値を特定することは困難ですが、一般的傾向として、感染初期においては、[市内]に新規発生する陽性者や濃厚接触者が特定され易く、したがって後期に比べ選択率は高くなるでしょう。感染が進むにしたがって、[市内]における陽性者の分布が均一になり数が増すために、その特定が困難になるとともに、保健所などの担当職員の人員不足と相まって選択度は低下すると推定されます。
図5，表１にみるように、lnξC vs (x-1)直線の全過程において、収束時増殖率の最低値は第1波のβC、’ ＝0.9で、それ以下には低下しません。この事実は次のように理解されます。第1波の検査率はSc /n<5×10-5(表2)で極めて低い。図4aから分かるように、このように低い検査率では、b>1000 の 極めて高い選択率で検査しなければ 隔離効果は望めません。
日数が経過して 感染者数 が増加するに伴って、検査率 は 増加します。第 4 波ではSc/n≒1×10 -3 になります(表2)。しかし、収束時増殖率はβC、4’＝0.95で第1波のときより高い値になります。収束時増殖率のこの増加は第1波のときにくらべ、市民の自粛意欲が低下した結果と考えられますが、隔離効果からみても、増殖率の低下は期待されません。図4a にみるように、Sc /n≒1×10 -3の検査率では、たとえば βC,4’/α=0.95という僅かな隔離効果を得るにも、b=40の 高い選択率が必要です。感染初期ならともかく、感染の進んだ第4波においてb値はそれほど高くはないでしょう。したがって、第1波から第4波までの全過程を通じて、顕著な隔離効果を得るには検査件数が少な過ぎます。おそらく、全過程を通じて、βｃ/α≒１の状態にあり、測定されたβｃおよびβｃ′ はそれぞれ、感染および収束過程における非隔離増殖率αに近いと推定されます。
- 選択隔離検査による感染収束効果
前節で導いた選択隔離検査の関係式に基いて、コロナ感染を早期に収束させることが可能か、具体的に検討します。基本となる関係式を改めて下記に示します。
b ＝ξC/ξ ＝S / Sc (>1) (32)
βC＝α[1-（bSc / n)] (36)
r(x)＝r(1) βCX-1 (37)
ξC(x)＝ ξC(1) βCX-1 (%) (38)
ln ξC(x)＝(x-1) ln βC + ln ξC(1) (40)
x-1＝{ln ξC*- ln ξC(1)} / ln βC （41）
ln βC＝{ln ξC*- ln ξC(1)} / (x-1) （42）
(非選択の隔離検査（b=1）のときは、下付きの“c”をとり去ります。)
モデルケースとして、人口10万人の都市におけるコロナウイルス感染の収束挙動について考えます。
初回（x=1）の隔離検査における対数陽性率がlnξ(1)=0（ξ(1)＝1.0（％））のとき、対数陽性率がlnξ*＝-5（ξ*＝0.0067%;～7人/10万人の陽性者）に収束するのに１週間を要する場合を考えます。この1週間において、隔離増殖率(β)は一定に保たれると仮定します。このときのβは (42)式から、x-1=7と置くと
ln β＝（-5-0）/ 7 = -0.714 , (43)
故にβ＝0.490となります。
いまの場合、収束までの期間が短いので市民に自粛努力を要請することにして、α＝0.95と置きます。そうすると、(36)式からβ＝0.490のとき、
S/n=1-β/α＝0.484, (44)
n=10５のとき、 S＝4.8×104, 1日当たりの検査件数はS＝4.8×104 （件/日）となります。
選択検査のときは、(32)式から Sc＝S/bとなります。もしb=10の選択が可能ならば、S＝4.8×10３ （件/日）に減少します。 （ただし、 Sは、人口に比例して増加します。）
図6-Aにα＝0.95の場合について、隔離増殖率がさきの7日間収束のときと同じ値（ βC＝0.490）で、初回対数陽性率（ln ξ(１)）が3～-4に変化したときのln ξ vｓ(x-1)の直線関係((40)式)を描きました。βが一定ですからこれらの直線は全て等しい ln β の勾配をもち、またS/nも先の7日間収束のときと同じくS/n＝0.4842、n=105のとき S＝4.8×104（件/日）、となります。
図から明らかなように、収束日数を短縮するうえで、初回陽性率の低い段階から隔離検査の対策をとることが極めて重要です。S＝4.8×104（件/日）の検査件数でln ξc(１)＝0 (ξc(１)＝1%)からln ξ*＝-５（ξ*＝0.0067%）まで収束するのに７日間を要しましたが、たとえばln ξ(１)＝-3（ξ(１)＝0.05%）の最初期段階から隔離対策をとると、それぞれ、3日および2日以内に収束させることができます。
図6-Bに、ln ξ*＝-5までの収束日数を7日間に固定し、初回対数陽性率（ln ξ(１)）を変化させたときの ln ξ vs (x-1)の直線関係を示しました。この場合は直線の勾配が変わるので、βと Sの値は図中に示したように、直線毎に変わります。
この場合は、初回対数陽性率を低くとることによって、検査件数はいくらか少なくなります。
図6-A 初回対数陽性率をln ξ(1)＝3～-4, 隔離増殖率β＝0.490（α＝0.95）としたときのlnξ vs (x-1) 直線。検査件数はいずれの場合もS=4.8×104 件/日。ln ξ=-5のときの（ｘ－１）値はln ξ＊＝－5までの収束日数を表す。たとえば、赤線で示したように、ln ξ(１)=0のときln ξ＊＝－5( ξ＊=6.7×10- 3 %)まで7日で収束する。
図6-B 収束日数を７日間に固定して、初回対数陽性率をln ξ(1)＝3～-4に変え
たときの直線関係。直線上の数値は（β,S）を表す。
これらの関係を指針として、感染の収束案を作成することができます。例を挙げます。都市人口は10万人とします。大阪市２３区の人口は約270万人ですから、1区当たりの平均人口です。
- 収束例（1）
感染がかなり進んだ段階からの隔離検査による収束を考えます。初回対数陽性率がlnξ(1)＝3（ξ(1)＝20.09 %, 10万人当たり20900人）, 収束時陽性率 ln ξ*＝-6、(ξ*＝0.0025% ;10万人当たり2.5人)、まで5日間で収束させることを目標とします。5日なので、その間市民に自粛努力を要請しますが、最近の感染力の高い変異ウイルスの場合、非隔離増殖率αを１以下に保つことは困難かもしれません。そこでα＝1.1に保たれるとします。そのとき、隔離増殖率は（42）式より
ln β＝(-6 -３)/5=－1.8, ∴ β＝0.165
となります。検査件数は(36)式より
S＝{(1－0.165 /1.1）×105} =85000 件/日
となります。選択検査のときは Sｃ=85000/b 件/日となります。たとえば、ｂ＝10とすると、必要な検査数はSc＝8500件/日となります。
参考のため、収束までの変数値の変化を図7 と表3に示します。
図7 収束過程における[市内]陽性者数（r(x)）の変化（模式図）
表 3 収束例１の収束過程における諸変数の変化。α＝1.1として、次式を用いて計算した値。
r(x)=r(1)0.165(x-1), r(x)’＝ｒ(x+1)/1.1, R(x)=r(x)-r(x)’
ξ(x)(%)＝20.09×0.165x-1, ξｃ(x)＝bξ(x).
S=85000件/日の非選択隔離検査を行うと、5日後(x=6)には、ξ(x)＝0.0025(%)に収束します。このとき、１日当たり85000件の隔離検査において見出される陽性者数は平均して
R(6)＝85000×0.0025/100=2.1 人/日
となります。
選択隔離検査を行うことによって、検査件数を減らすことができます。
例えばb=10 、したがってSC=8500件/日の選択隔離検査を行うとします。ただしこの場合、初回（x=1）の検査は、RC > SC (表3)となるので不合理です。そこで初回の検査は非選択的(S=85000)に行い、陽性率をξC(x)(%)=33.1%に低下させた後に（表3）、２回目の検査からSC=8500 件/日の選択検査を行います。このようにしても、6日目（x=6）には所定の収束状態（r(x)=2.5）)に到達します。選択検査によって検査件数は大幅に減少します。
選択率をb＝10に上げる手段として、抗原検査キットの利用が考えられます。予め検査キットを全市民に配布しておき、感染疑いの濃い市民を優先してPCR検査対象者に選びます。
以上においては、非隔離増殖率をα=1.1と仮定しました。仮に、自粛要請を強化してα＝0.95にできたとしたらどうでしょうか。さきの場合と同じく、初回対数陽性率がlnξ(1)＝3（ξ(1)＝20.09 %, 収束時陽性率lnξ*＝-6、(ξ*＝0.0025% ;10万人当たり2.5人)、まで5日間で収束させることを目標とします。
このとき、隔離増殖率はさきの場合と同じく、
ln β＝(-6 -３)/5=-1.8, ∴ β=0.165
となりますが隔離検査件数は
S＝{（1-0.165 /0.95）×105} =82600 件/日
となります。α＝1.1の場合より、いくらか減少しますが大差はありません。自粛効果は隔離効果に比べて非常に小さいことを意味しています。
ちなみに、我が国におけるように検査権数が極めて少なく自粛効果のみの場合、すなわちα≒β＝0.95のとき、収束日数は(41)式より、
x-1 ＝（-６-3）/ ln 0.95 ＝176 日
となります。
収束例２
もう一つの例として、感染の比較的初期から隔離対策を行った場合を考えます。初回検査時の対数陽性率をlnξ(1)=-3(ξ(1)=0.05%, １0万人当たり50人),収束時対数陽性率は例１の場合と同じくlnξ*＝-6（ξ*＝0.0025%, １0万人当たり2.5人）とし、収束日数も例１と同じく5日間とします。隔離増殖率は
lnβ＝ (-6 ＋３)/5=-0.6, ∴ β＝0.549
となります。隔離検査件数は、α＝1.1のとき
S＝{(1-0.549/1.1)×105}/b ＝50091 件/日
α＝0.95のとき、
S＝{(1- 0.549/0.95)×105}/b ＝42210 件/日
となります。検査件数は減少しますが、やはりかなり多い数になります。早期対策の顕著な効果は、隔離者,したがって感染の犠牲者の著しい減少にあります。すなわち、例１の場合はr(1)=2086人から2.5人に収束する間の隔離者数がΣR(x) =20440人であるに対し、例２の場合はr(1)=50人から2.5人に収束する間の隔離者数は僅か 54人になります。
- リバウンドの防止
収束後は直ちに自粛要請を解除します。解除後はリバウンド防止の対策を取らねばなりません。
収束後の非隔離増殖率がα>1のときは、そのまま放置すると、 (11)式にしたがって
［市内］陽性者は指数関数的に増加します（図８）。
図8 r(1)=2.5に収束後、α＝1.08〜1.12の状態で放置したときの
10万人当たり陽性者数r(x)と放置日数(x-1)の関係。r(x)は指数関数
的（(11)式）)に増加する。赤線は隔離検査によってβ=1にしたとき。
市内陽性者数を一定あるいはそれ以下に保つためには、α>1である限り、隔離検査を続行する必要があります。必要な最少の１日当たり検査件数は、(36)式からβ＝1とおいて、次式から求められます。
S ＝(1-1/α)n 件/日 (45)
人口10万人の場合、
S ＝(1-1/α)×105 件/日 (46)
の検査件数が必要になります。
自粛要請を解除するので、非隔離増殖率がα＝1.12に増加したと仮定すると、
S＝10700 件/日 （47）
となります４）。
（45）(46)式から明らかなように、市内陽性者数r(x)を一定に保つために必要な最少隔離検査件数はnが一定のとき、αのみによって決まります。市内陽性者数r(x)には依存しません。ちなみに、若干のα値における最少検査件数Sおよび検査率ｂSC /nを求めると表 4 のようになります。
表4 α＝1.02ないし1.12 において、市内陽性者数を一定に保つために必要な
PCR選択検査率（ｂSC/n）, および 隔離検査件数 S（ｂ＝1,n=105）件/日）。
いま、α＝1.12でξ*＝0.0025%(r(6)=2.5)( 表4)の収束状態において、S=10700 件/日の隔離検査を行ったとします。この場合、１日当たりに検出される陽性者数は平均して
2.5×10700/105＝0.27 人/日
です。したがって、凡そ４日に１人の割合で陽性者が検出されれば、β＝1の状態に制御されていることになります。それ以上の割合での陽性検出が続けば、リバウンドが起こります。
しかし、実際には安全を考慮し、β<1の条件下で隔離検査を行うことになるでしょう。
たとえば、収束直後の ξ*＝0.0025%(r(1)=2.5)の状態から、100日間で陽性率が１/10( ξ*＝0.00025%, ln0.00025=-8.3)に低下するとき、
ln β＝（-8.3+6）/100＝-0.023, β＝0.98
となります。このとき必要な検査件数は
S＝（１-0.98/1.12）×105 ＝12700 件/日
となります。β＝１のときと比べて大差はありません。
他方、検査件数が少なすぎ、β>1になると、陽性者が検出されなくてもリバウンドが進行していることがあります。たとえば、S=1000人/日で隔離検査を行う場合を考えます。この場合、1日当りに検出される平均陽性者数は、r(x)=2.5のとき、
2.5×1000/105 ＝0.025 人/日
です。したがって、凡そ40日に１人の割合でしか検出されません。このような場合、ln ξ(x) vs (x-1)の直線関係をプロットすると、ln ξ(x)<0（ξ(x)<１）の区間(Δx)が長く現れます（図9）。そうすると、感染は一応収束したとみなし、自粛要請を解除し、Go To キャンペーンなどを始めるのが通例です。しかし、このような区間は単に検査件数が少ないがために出現するのであって、実際にはβ>1である限り、市内陽性者は増殖し続けています。そして陽性者がある限度を超えるとリバウンド直線（図９）が出現します。このような傾向は図4の第１波から第２波への移行過程においてみられます。このような特徴的な変化は検査件数が不足していることの証といえます。
図9 検査件数が過少なときにln ξ vs x-1関係
に現れる特徴的変化
関連する問題として、収束後におけるクラスタ-の発生や、市外からの陽性者の流入による市内陽性者の変動について考察します。
図10(a)(b) クラスタ－の発生による［市内］陽性者数の変化。(a)β>1,
(b)β<1のとき。
市内陽性者数がr(x)=2.5人に収束後、自粛を解除したときの非隔離増殖率がα＝1.12であったとします。この後、市内陽性者数r(x)を一定に保つためにはS＝10700件/日の検査件数で隔離検査を行わねばなりません（表４）。それに対し、S=500件/日（実際に行われている件数はもっと少ないが）で隔離検査を行ったとします。その時の隔離増殖率は(36)式から
β＝1.12(1－500/105 )＝1.11
となり、検査件数が少ないためにαに近い値になります。
図10(a)の曲線r(x)で示したように、市内陽性者数は(37)式から
r(x)=2.5×1.11x-1 (48)
に従って指数関数的に増加します。
ｘ＝10(日)において、ある事業所で200名の陽性者からなるクラスタ-が発生しましたが、その全員を隔離保護することができました。しかし、β＞1ですから、市内の陽性者がさきの（4８）式に従って連続的に増加するだけです。
その後、ｘ＝20(日)に、同じく200名のクラスタ-が発生しました。今回は全員隔離することができず、100名が市内に流出しました。市内陽性者は、さきの(4８)式によるr(20)=20（名）と合わせて、120名になります。X=20(日)以後の日数をｙ(日)で表し、その原点をｘ＝20にとると、その後の市内陽性者数は
r(y)＝120×1.11y-1 （49）
となります。ｒ(x)はクラスタ-の発生点において不連続的に増加し、r(y)に繋がります〈図10（a）〉。市内に流出した陽性者が多いほど、クラスタ-発生後のr(y)の増加率は増大します。
他方、検査件数が10700件/日より多いと、β<1になります。例えばS=15000件/日とすると、βは(36)式から
β＝1.12(１-15000/105 )＝0.952 （50）
となります。市内陽性者数は
r(x)=2.5×0.952x-1 (51)
となります。x=10日に200名のクラスターが発生しても、全員が隔離されれば、[市内]陽性者は(51)式にしたがって連続的に減少するだけです。X=20日に発生したクラスター200名のうち、100名が［市内］に流出したとすると、その時点で［市内］陽性者は100名急増し、全［市内］陽性者は201名になります（1名はr(20)＝1）。その後、［市内］陽性者は
r(y)＝201×0.952ｙ-1 (52)
にしたがって減少します。
β<1ですから、流出陽性者によって［市内］陽性者が一時的の増えても、リバウンドが生じることはありません。
結局、クラスターを丹念に追いかけ隔離しても、少しでも［市内］陽性者が残存し、β>1である限り、［市内］の感染者は増加し続け、いずれはリバウンドが生じます。
市民の自粛努力のみによっても、α＜１にできるならば、感染を収束に向かわせることはできます。しかし、我が国の経験からすれば、αの低下は凡そ0.9までです。その程度の自粛においては、完全な収束に到達するまでに、数か月以上を要するでしょう。それに対し、大規模なPCR隔離あるいは選択隔離検査によれば、β＜＜１にすることができ、短期間で収束させることができます。
まとめ
PCR隔離検査を効果的に行うことによって、コロナ感染の収束日数を大幅に短縮することができます。そのためには； (1)予め収束までの日数を目標として定め、そのために必要にして十分な件数のPCR隔離検査を行わねばならない。たとえば人口10万人の都市で、5日以内に十分に低い感染水準まで収束させるには、凡そ8万件/日の隔離検査が必要です。現在の検査体制下でこのような大規模検査が無理なときは、陽性疑いの濃い検査対象者を選んで隔離検査を行えばよいでしょう。そうすることによって、検査件数を大幅に減らすことができます。検査対象者の選択には、抗原検査キットの利用が考えられます。
(2)隔離検査対策は感染のできるだけ初期に行うことが望ましい。対策をとる時期が十分に早ければ、感染者は激減します。隔離保護される陽性者は少なくて済みますし、コロナ禍に関わるすべての犠牲者が大幅に減少します。(3)コロナ感染が収束後もリバウンドを防止するために、隔離検査を続行する必要があります。必要な検査件数を見積もると人口10万人当たり5千ないし1万件/日になります。現在我が国で行われている自粛要請と小規模検査のみによって、リバウンドを防止することは極めて困難です。
周知のように、我が国においては厚労省を中心に、政府関係者や専門家の多くがPCR検査の抜本的拡充に強く反対してきました。その理由として、PCR検査は精度が低いから、感染しているのに陰性と判定される疑陰性者が市内に出回り感染源となる、あるいは検査数を増やすと医療崩壊が起こる、などの説明がなされてきました。最近はこうした奇妙な説は聞かれなくなりましたが、それに代わって、大規模検査は “検査効率が低いから無意味”、との声を一部の政治家や専門家の見解として耳にすることがあります。しかし、これも誤りです。問題は検査効率ではありません。“クラスターつぶし”は "効率的”でしょうが、それによってリバウンドを防止することはできません。
新型コロナ第６波が懸念されているいま、ワクチン接種と新しく開発された薬剤投与の効果が期待されています。勿論それらは重要ですが、それだけに頼ることなく、大規模なPCR隔離検査を含めた万全の対策をとれるよう準備を整えることが必要と思います。
註釈
- YOGIN‘s blog 新型コロナウイルスの感染収束を予測する簡単なモデル https://Yogin.hatenadiary.com/
2 )実際のPCR検査は、発見された陽性者が隔離されるから隔離検査ですが、ここでは、仮想的に陽性者が隔離されない場合を考えます。
3)感染の仕方には接触感染、エアゾルによる間接感染などがありますが、感染の仕方に拘わりなく新規感染者数は前日の感染者数に比例すると仮定します。
4) デルタ変異株の感染力が従来株の数倍と報道されていたので、α＝1.12と仮定しましたが、筆者の分析結果（続報予定）からみると、α＝1.07で、従来株と大差ありません。α＝1.07のときは、S=6500 件/日となります。
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記号の説明
n: 都市の人口
S, S(x)：非隔離および隔離検査における1日当たりのPCR検査件数、S(x)はｘ日における1日当たり検査件数
Sc, Sc(x):選択隔離検査における1日当たりのPCR検査件数、Sｃ(x)はｘ日における1日当たり検査件数
R, R(x): 非隔離および隔離検査における S人の被検査者中の陽性者数. R(x)はx日におけるR
Rｃ,Rｃ(x): 選択隔離検査におけるSｃ人の被検査者中の陽性者数.
Rｃ(x)はx日におけるRc
ξ,ξ(x): (1)式で定義される陽性率。ξ(x)はx日におけるξ
ξc,ξc(x): 選択隔離検査における陽性率。ξc(x)はx日におけるξc
r, r(x) : 市民人口n 人中の隔離されていない陽性者数
α：非隔離増殖率、（4）式で定義される、［市内］増殖率
δr(x):x-1日からｘ日にかけての1日間における［市内］陽性者数rの増減（（5）式）
δr(x)(新感): (7)式、x-1日からｘ日にかけての1日間における新規感染者数（図１参照）
δr(x)(新回、死):(7)式。x-1日からｘ日にかけての1日間における新規回復、および死亡者数（図１参照）
μ：新規感染率（8）式、δr(x)(新感)が前日の[市内]陽性者数r(x-1)に比例するとしたときの比例係数
ρ: 新規回復率（8）式。δr(x)(新回、死) が前日の[市内]陽性者数r(x-1)に比例するとしたときの比例係数
ｒ(1):（11）式、1回目(x=1)の検査における［市内］陽性者数（カッコつき［市内］は2.隔離検査 参照）
r(x)’ : PCR隔離検査直後における［市内］陽性者数
ξ(1): (16)式、1回目(x=1)の検査における陽性率
ξ* :感染収束時の陽性率
β:隔離検査のときの増殖率、(21)式
βC:選択隔離検査のときの増殖率、(36)式
RC(x): 選択隔離検査において、SC(x)人の被験者中に含まれ、隔離される陽性者
ξC:選択隔離検査における陽性率
b : 選択率、選択検査と非選択検査における陽性率の比、（31）式
ΔS C :選択隔離検査における１週間当たりのPCR検査件数（図5）
ΔRｃ：選擇隔離検査における1週間当たりの新規感染者数（図5）
。
新型コロナウイルスの感染収束を予測する簡単なモデル
荻野喜清
１． はじめに
我が国におけるコロナウイルスの感染は第２波に入り、今後の予断を許さない状況にあります。こうしたなかで、PCR検査などのウイルス感染者を見出す検査のあり方について見解が分かれているようです。その一つは政府と一部の専門家によるもので、感染者の重症化を防ぎ、回復させることこそが当面取るべき最重要課題である、という主張です。この立場の人たちの多くは、PCR 検査体制の拡充はむしろ二の次の問題と考えておられるようです。
感染者の重症化を防ぐことは無論臨床的に重要でしょう。しかしPCR検査には コロナ禍を社会全体として収束させ、再発を防止するという疫学的な役割があります。この立場からすると、世界でも稀なほど貧困な我が国のPCR検査体制は早急に改善され、拡大充実されねばならないと考えられます。
この小論で提案するモデルは疫学には門外漢である筆者 1) が、この 問題に対する科学的な説明を見出したく思い、自分なりに考えたいわば素人によるモデルです。学術論文ではないので、従来の研究2) には 触れていません。その代わり誰にでも理解できるモデルです。
２. 基本的仮定とモデルの概要
コロナウイルス感染検査（主としてPCR検査）は、１日に１回、n人の全市民３) から選 ば れ た 被 検 者 S 人 に対して行われるとします。
被験者の選び方にはいろいろあるが、一つは全市民の 検査です。この場合、被検査者数(S)は市民人口(n)に等しく、検査によって見出された陽性者数 (Ri) は市内の全陽性者数（ｒi）に等しくなります。 したがって陽性率（ξ i) すな わ ち検出された陽性者 (Ri) の被検査者数（S）に対する割合は、市内全陽性者数（ri）の全市民人口(n)に対する割合に等しく、
ξ i ＝（Ri /S）×100
＝（ｒi /ｎ）×100 （％） (1)
となります。下付き添え字 i はi 回目(i-1日後、初回はi=1)の検査という意味です。
しかし市の人口が多い場合、限られた検査能力の下で、市内の複数地域から選ばれた被検者を対象に検査する場合が多いでしょう。しかしこの場合も、感染者の市中分布に大きな偏りがなく、被検者（S）を市内から万遍なく無作為にとれば、 (1)式は成立するでしょう。
一方、感染者の分布に大きな偏りがある場合は、陽性者の隔離保護を効率的に行うために、感染率の高い地域から重点的に検査をすることが考えられます。ここでは問題を単純化して、先ず(1)式が成立する場合について考察します。重点的検査については後に触れます。
コロナウイルスの感染に対する疫学的な対策として自粛と隔離があります。自粛には感染者からの感染を避けるために人が密集する場所へ行かない、マスク着用、手洗いなどの自主的な感染防御の他に、人が密集する大規模イベントの制限、高感染地域を周辺地域から遮断する、などの政府、自治体による規制も含まれます。一方、隔離は陽性検査によって見出された感染者を病院あるいは隔離施設に収容保護して、未感染者への感染を防止する対策です。
先ず、自粛対策のみがとられた場合の感染の広がり方について考えます。
初回 ( i=1)の検査で一人の陽性者が発見されました（r１＝１）。この感染者から感染は周囲に広がります。
翌日(i = 2)には感染者がα人に増えたとします。さらにその翌日 (i = 3)には感染者はα人のα倍、すなわちα２人になるとします（図.１）。
図１ 自粛対策のみがとられたときの市中感染者の指数関数的増大
赤丸：感染者、 白丸 : 未感染者
１日目の感染者が１名、非隔離増殖率α＝２の場合。
このような場合、i 日目(i-1日後)の市 内の陽性者数は
ｒi= αi -1r1 (2)
によって与えられます。
α＞1のとき、陽性者は時間(日数)とともに増加しα＜１ときは減少します。
α＝１のときri は一定に保たれます。ｒi は i の指数関数ですから、α≠１のとき 陽性者数 は日数とともに急激に変化します。たとえば、α＝1.1のとき ri は 1 週間（i-1=7）毎 に倍増します。α＝1.4 のときは、初回検査時に１人(r1=1)であった陽性者は一ケ月後には 2万４千人に増加します。
(2)式が成立するとき、α はｒi とｒi-1 の比となり、
α＝ri/ri-1 (3)
で与えられます。αは感染者が1日の間に何倍に増えるか、という増殖率を表します。後述の隔離の場合と区別して、非隔離増殖率と呼ぶことにします。
一方、市内陽性者数 ri の１日当たりの増減 δ ri は、前日の ri-1 名の陽性者からの新規感染者δ ri（新感）と、同じく前日からの新規回復者 δ ri（新回）および死亡者 δ ri（死）からなります。すなわち、１日当たりの感染者数の増減は
δri = ri -ri-1
＝δri（新感）－｛ δri（新回）+ δri（死）｝ (4)
と表されます。死者数が回復者数に比べて無視できるときは、
δri = ri -ri-1
＝δri（新感）－｛ δri（新回）｝ (5)
となります。(5) 式の両辺を ri-1で割り、(3) 式を用いると
α－１={δri（新感）－ δri（新回）}/ ri-1 (6)
となります。
δri（新感）＞δri（新回）のときはα>1となり、δri（新感)＜δri（新回）のときはα＜1となります。
新規感染率(δri（新感）/ ri-1) はウイルス本来の感染力、種々の自粛対策や生活習慣等に依存して変化します。新規回復率(δri（新回）/ ri-1) はウイルス本来の性質や種々の環境条件の他に、効果的な治療薬の使用などによって変化するでしょう。 (2)式の両辺の対数をとると、
ln ri = (i－１) lnα + ln r1 (7)
の関係が得られます。また、陽性率（ξ i）を用いると、(1)式と(7)式から
lnξ i= ln ri + ln(100/n)
=(i-1)lnα+ln ξ1 (8)
の関係が成立します。
(8)式から明らかなように、ln ξ i と( i-1)の間に直線関係が成立するとき、その勾配から非隔離増殖率 α を求めることができます。
感染の増加あるいは収束の全過程においてα が一定に保たれる保証はないでしょう。様々な自粛効果は時とともに変化するでしょうし、ウイルスそのものの感染力もたとえば気温によって変化するかもしれません。また、α は 回復率や死亡率にも依存します。
しかしここでは、人口に比べて感染者の数が比較的少ないときは、α を一定とみなすことができると仮定します。その根拠は、４節に示すように、実際の測定値においてln ξ i と（i-1)の間に直線関係が認められることにあります。
つぎに、隔離がある場合を考えます。被検者は市内複数個所から選びます。先の場合と異なり、検査毎に発見された陽性者を検査後直ちに病院その他の施設に収容し保護隔離します(図2)。
図２ 隔離検査の模式図 I. 市内複数個所（小円内）から被験者合計
S名を選び、II. 見つかったRi 名の陽性者（小円内赤丸）を隔離保護する。
検査時市内全陽性者（r i）＝隔離直後の市内残存陽性者（ｒi’）+ 隔離
陽性者（R i ）
図２に示した隔離検査における市内陽性者数（ri）の変化を図3にグラフにまとめて描きました。市内陽性者がr1名のときからPCR隔離検査を始めたとします。そのとき見つかった陽性者R1名を隔離すると、市内に残存する陽性者数は
r1’ ＝ r1－R１ （9）
となります。
同様にして一般にi日目(i-1日後)の検査において、陽性者を隔離した後の市内感染者数（ri’）は
ri’ ＝ ri－Ri （10）
となります。
(1)式の関係が成式り立つ場合は
Ri/S= ri/ni (11)
となります。 (1)式の場合と異なり, 隔離検査の場合、市民人口は全市民人口から隔離者を除いたi日目の人口(ni）になります。しかし、通常隔離者数(∑Ri)は全市民人口に比べずっと少ないので
ni = n－∑Ri ≒ｎ (12)
の近似が成立します。
図３．隔離検査における市内陽性者数ｒi の時間（日数i）による変化
（A)感染過程（β＞１）、（B）収束過程（β＜１）
ｒi ( i = 1,2,3,…)は i 回目の検査における市内陽性者数、ｒi’ は i 回目の検
査において見出された陽性者（Ri）を隔離した直後に市内に残存する陽
性者数。
(11),（12）式から陽性率は
ξi =( Ri/S)×100 =( ri/n)×100 (%) (13)
で与えられます。
一方図3において、ｒi-1’ からriへの変化率は非隔離増殖率αに等しいとおけるので、
ri＝αｒi-1’ (14)
となります。そこで、(14)式と
ｒi-1’ ＝ri－１－Ri-1 （15）
の関係からｒi-1’ を消去し、 (11)式から ni－１≒n とおいて得られる
Ri-1 ＝ S(ri－１/n) （16）
の関係を用いると、
ri/ ri－１ ＝α(1－S/n) （17)
となります。右辺は定数ですから、
ri/ ri－１ ＝α（1－S/n) =β （18）
とおきます。 (18)式によって定義される定数 β を隔離増殖率と呼ぶことにします。(13)式と(16)式からβは
β＝ξ i /ξi-1= ri/ ri－１ (19)
と表されます。
(19)式が成立するとき、ｒiとξ i はそれぞれ、
ri = βi-1r1 (20)
および
ξ i =βi-1ξ1 (21)
となります。両辺の対数をとると、
ln ri = (i -1) lnβ+ ln r1 (22)
および
lnξ i = (i－1) ln β + lnξ1 (23)
となります。これらの式は非隔離検査のときの(7)(8)式と、α と β が 入れ替わっただけで、同じ形です。
非隔離検査の場合と同じく、ln ξ i と（i－１）は直線関係にあり、その勾配から隔離増殖率βが求められます。
つぎに、 感染あるいは収束の速度をdri /dtによって定義すると、非隔離検査と隔離検査の場合、それぞれ (7)式と (22)式から、
(dri /dt)非隔離 ＝ ri lnα （24）
および
(dri /dt)隔離 ＝ ri lnβ (25)
となります。
3．コロナウイルスの感染過程を支配する三つの要因
(8)式および（23）式からコロナウイルスの感染収束過程は、三つの要因によって支配されることがわかります。その一つは非隔離増殖率(α)です。αはウイルス本来の感染力の他に種々の自粛対策や感染者の治療効果によって変化します。ウイルス感染後、隔離検査をしなければ(7)式にしたがって感染者は指数関数的に増加(α＞１)あるいは減少（α＜１）します。 第2の要因は隔離効果です。隔離検査においては、感染者が隔離保護されるため、感染者は(23)式にしたがって指数関数的に増加(β>1)あるいは減少(β<1)します。 (18)式からβ＜αの関係にあるので、非隔離検査にくらべ感染速度はより遅く、収束速度はより速くなります。第3の 要因は 早期に陽性者を発見し対策とることによる効果です。(8)式および (23)式の右辺第2項 ln ξ1 の ξ1は初回検査時の陽性率です。ξ1が低い感染の初期段階から自粛なり隔離なりの対策を講ずれば、完全収束までの時間は大きく短縮されます。
そこでつぎに、三効果の大きさと特徴を上記のモデルに基づいて比較検討します。
(i)自粛および早期対策効果
図４に、幾つかの α 値についてξ1=1%（lnξ1=0）のときの ln ξ1 と (i-1) の関係 を描きました。α が1より大きいときは、陽性率は時間とともに指数関数的に増加します。よく言われる１週間毎に陽性者が倍増するのは、α=1.1のときです。
図４ 非隔離検査における対数陽性率(lnξi)と経過日数(i －１)
の関係。 α＝０.8~1.2 のときの（8）式を用いた計算例。
（２）式より、初回検査時（i=1）と１週間後（i-1=7）における市内陽性者数（あるいは陽性率）の比, すなわち 一週間増殖率は
r８/r1= ξ8/ξ１＝α７ (26)
となります。
図５ 1週間増殖率（r8/r1）と非隔離増殖率（α）の関係
（α＞１のとき）
図5に示したように、1週間増殖率は非隔離増殖率αに強く依存します。たとえばα＝1.1のとき、陽性者は一週間毎に倍増しますが、α＝1.26になると、1週間毎に５倍に増加します。初回検査時の陽性者が１名であったとすると、４週間後にはα＝1.1のとき24=16名、α＝1.26のときは54=625名に増加します。
自粛対策により、α<１になると、陽性率は経過時間とともに低下します(図４)。たとえば、α＝0.9のとき、110日後には ξi=10-5 %（lnξi=-11.51）に収束します。αが小さいほど、感染が収束するまでの時間は短くなります。
感染のより早期から自粛対策をとれば収束時間は大幅に短縮されます。たとえばα=0.9の場合、ξi=0.018 %（lnξi=-4）から自粛対策をとれば、ξi=10-5 %（lnξi=-11.51）
まで７０日で収束します(図4赤線)。α=0.8の場合には自粛と早期対策により、収束時間は約35日に短縮されます(図4赤鎖線)。 しかし後述のよう第1波感染時の経過からみると、都府県単位でα<0.9にすることは実際上かなり困難に思われます。
（ii）隔離効果
隔離検査を行ったときの対数陽性率(lnξi)と経過日数(i－1)の関係は、非隔離増殖率(α)、検査率、すなわち検査人数の人口に対する比率(S/n)、および初回検査時の対数陽性率(lnξi)を与えれば、(18)式および(23)式を用いて計算するこができます。
隔離効果の指標となる隔離増殖率と非隔離増殖率の比β/αは、(18)式より
β/α＝１－（S/n） （27）
となります。図６にβ/αとS/nの関係を示しました。
図６ 隔離非隔離増殖比（β/α）と 検査率（S/n）
の関係（27式）
図7に初回検査における陽性率がξ1=1%（lnξ1=0）のときの、対数陽性率と経過日数の関係を示しました。直線1(緑鎖線)はα＝0.9のときの非隔離直線です。
図７ 隔離検査における対数陽性率（lnξ i）と経過日数（i －1)
の関係。直線に付記したαとS/nのときの関係を(27)式と（23）式
を用いて計算。
我が国においてはPCR検査数の人口に対する割合が世界でも稀なほど低く(世界で153位)、たとえば東京都におけるS/nは１０－４のオーダーの大きさです。この程度の検査ではβ/αはほとんど1に等しく、隔離効果は全く望めません。このような場合はα≒βとなります。
α＝0.9の状態で検査数を増やすと、隔離効果により増殖率(β)は低下します。
すなわち、S/n＝0. 2(直線2) および 0.6 (直線3)のとき、隔離増殖率は(27)式から、それぞれ、β＝0.72および 0.36になります。その結果、感染収束までの日数は大幅に短縮されます。(i)で述べたように、α＝0.9のとき, ξi=10 ―5 % （107人に一人）まで収束するのに約110 日かかりました。それに対し、S/n＝0.2 および 0.6の隔離検査を行うと、収束日数はそれぞれ36日、および11日に短縮されます（直線2,3）。
一方直線４（青鎖線）はα＝1.2 のときの非隔離直線です。隔離検査を行うとβは低下します。S/n＝0.1 （直線５）のとき、β＝1.1になります。さらにS/n ＝0.17（直線6）になるとβ＝1となります。この状態では、α(>1)による陽性率の増加傾向と隔離による低下傾向が釣り合い、陽性率は一定に保たれます。S/n=0.5 （直線7）では α＝1.2でもβ＝0.6になり感染は収束に向かいます。
このようにα>1の場合、隔離検査によって感染を収束に向かわせるためには検査率（S/n）がある臨界値以上でなければなりません。この臨界値は(27)式を用いて次式から求められます。
β＝α｛１－（S/n）｝＝1 (２8）
図8に S/n 臨界値と α の関係を示しました。
このように、自粛対策をとらないか、あるいは不十分で α＞1 の状態にあっても、検査率（S/n）が臨界値以上であれば隔離効果によって感染を収束させることができます。ただしこの場合は、自粛対策を伴う場合に比べ、隔離者数が多くなります。
図８ 非隔離増殖率αと隔離増殖率がβ＝１になるS/n臨界値
の関係。
自粛対策によってα<1に保った上で隔離検査をすればより低い検査率で収束させることができます。さらに感染初期から対策をとれば極めて短い日数で収束させることができます。たとえば直線8（図７赤線）に示したように、他の条件は直線３と同じでも自粛と隔離検査をξ1=9×10-4 %(lnξ1=-7)の感染初期から行えば、4 日ほどでξi＝10―5 % に収束します。感染初期から隔離検査を行えば、隔離者数が減少するので隔離者の収容も容易になります。
先にも述べたように、ξ1=1 %, α=0.9の非隔離検査のみでは収束までに110日を要したことからみると、自粛と隔離および早期対策の効果は非常に大きいことが分かります。
隔離検査のまとめとして図9に隔離検査における収束挙動を模式的に描きました。図に示したように、ウイルス感染後、何の対策もなしに、あるいは不十分な自粛のみで放置すると陽性率は非隔離増殖率α1 (>1)をもって指数関数的に増加します。ある陽性率ξ1において隔離検査を開始します（赤線）。以後の陽性率の変化は隔離検査の検査率（S/n）の大きさによって三つに分かれます。検査率が臨界検査率以下のときは(β１＞1)、陽性率の増加を防ぐことはできません。
検査率が臨界値のときは(β２＝１)、陽性率はξ1に高止まりしたままで変化しません。検査率を臨界値以上にとると(β3 <１)、陽性率は低下し収束に向かいます。検査率をさらに大きくとると(β４＜β3)、陽性率は急速に収束に向かいます。
図９ 隔離検査における感染収束挙動の模式図
隔離検査を陽性率がより高いξ２の状態から開始したときも、変化の状況は収束日数の増加を除けば、さきの場合とまったく同じです。すなわち、さきの場合と同じ臨界検査率（たとえばα=1.2のときS/n =0.17）で陽性率はξ２に高止まりします。検査率が臨界値以上あるいは以下の値をとるときも、そのときの S/n がさきの場合と同じならばβも同じ値になります。直線の勾配を決めるβは ξi とは無関係にαと S/n によって決まるからです（(27)式））。
４. 我が国における感染例
図1０a~d に東京都、埼玉県、神奈川県、大阪府における第１波コロナウイルスの感染経過を対数陽性率と経過日数の関係で示しました。陽性率は厚生省および各自治体公表の７日移動平均値から、さらにそれらの５日間平均値を計算しプロットしました４）。
また、図1１a~c に、東京都、大阪府、および東京都世田谷区における第２波感染の経過を分かる範囲で示しました。
図10をみると、これら４都府県の第1波コロナウイルス感染過程には共通した傾向が認められます。すなわち、
１．4月14~16日のピークを過ぎて後、対数陽性率は経過日数とともにほぼ直線的に低下している。直線的低下の期間は、東京、大阪、埼玉、神奈川において、それぞれ約27日、35日、40日、50日とかなり長い。同様の直線的変化の傾向はピークまでの陽性率増加過程においてもみられる。
２. ４都府県ともに、対数陽性率のピークが4月14~16日に出現している。このピークが4月７日に政府から発令された7都府県に対する緊急事態宣言によるものであることは明らかであろう。
3. 陽性率の低下過程における非隔離増殖率αは東京、埼玉、神奈川、大阪において、それぞれ0.90, 0.91, 0.95, 0.89 で、0.9付近の値をとる。
さきに述べたように、我が国におけるPCR検査数は極めて少ない。そのため隔離検査ではあるが隔離効果は無視されます。したがって、ピーク時以降の陽性率低下は、緊急事態宣言による自粛作用補1)によるものであって、直線の勾配から求められる増殖率は実質的に非隔離増殖率とみなされます。
周知のように我が国におけるPCR検査は限られた検査能力の下で、クラスタ－や症状が比較的重い感染者との濃厚接触者 などを対象に 選択的に行われてきました。そ のため、少ない検査数の検査によって得られた陽性率は全市民の平均的な陽性率を表していないのではないか、という疑問が生じます。
しかしながら、上述のように異なる都府県において類似した感染経過が認められ、その上、上昇過程、低下過程において一定の期間、対数陽性率と経過日数の間に直線関係が存在します。その間非隔離増殖率 α はほぼ一定に保たれます。このことは近似的にではあれ(８)式の関係 が 成立していることを意味します。これらの事実から判断して、公表されている陽性率はかなりよく市民全体の感染傾向を反映しているといえます。
したがって検査陽性率を減少させる方策を講ずれば、それに応じて市民全体の陽性率も減少すると考えられます。以下具体的に検討してみます。
4都府県のうち、東京都を例にとります。感染の収束目標をξi =1０－３%（ln1０－３=－6.9 ; 10万人当たり1名の市中感染者)とすると、ピーク時陽性率30 % (ln30=3.4)から1０－３%まで収束するに要する日数は、α＝0.9 ( ln α＝－0.105 )とすると、（8）式から
i－1= (lnξi－lnξ1)/lnα＝(6.9+3.4)/0.105 =98
すなわち、98日になります。しかし実際には、4月7日の緊急事態宣言発令後48日
(5月6日の解除予定が30日まで延期), 必要日数の丁度半分で解除されました。 その結果解除の時点で約1.0 %の市中感染者が残存しました。予想されるように、解 除 後 陽性率はほとんど間をおかずに上昇に転じ、感染第2波を引き起こす結果となりました。
より早く収束させる策はなかったでしょうか? 一 つ は 早い 段 階 からの自粛対策です。たとえば、ξ1=0.1 % の時点から α=0.9 の 自 粛 対 策を とれ ば、4 4 日後には ξ i = 1０－３% まで 収束させることができます。1０－３% への収束は十分と は 言 え ないが、第2波の発生をかなり遅らせることはできたでしょう。
また、もし1日当たり検査数を280万人に増やし、検査率S/n=0.2の隔離検査を行えば、隔離増殖率はβ＝0.72に低下します（図6）。その結果、ξ1=0.1% からξi =1０－３% までの収束は僅か14日間で達せられます。1日当たり検査数280万人のPCR検査は東京都の現実（~4千人/日）からみると、あり得ないと思えますが、欧米先進国ではすでに行われていることです。たとえば英国では100万人当たり21万3千人/日の検査が行われていますが、これは東京都の人口に換算すると297万人/日になります。
とは言え、我が国において、このような大量検査は少なくともすぐには無理でしょう。そこで考えられるのが地域限定型の重点的検査です。
図11 に示した第２波コロナ感染のうち、c図の東京都世田谷区を例にとります。世田谷区は人口約92万人で、23区のうち最大の区です。第２波の感染率は高く、現在(8/11)すでに陽性率は20％に達しています（図11 c）。この状態から第一波同様の自粛対策をとっても、ξ1=20 % からξi =1０－３% まで収束するのに94日間を要します。
そこで見方を変え、感染率の地域差に着目します。全体平均で20%の陽性率といっても、陽性率には地域差があるでしょう。東京都全体では、新宿区において33 ％の陽性率が報じられたことがありました。いま仮に、世田谷区においても陽性率が30 %という特に高い地域があり、感染震源地（エピセンター）となって周 辺 地域に感 染を 広げている、とします。そこでこのエピセンターを中心に、それを取り囲む人口２万人の地域を限定して重点検査地域とします。世田谷区のPCR検査能力を集中的に動員して、１万人/日の隔離検査を行うとします。被検者は重症者に限ることなく、無症状者あるいは軽症者を含めた広い範囲から選びます。自粛努力も同時に行い、非 隔離増殖率をα=0.9に保つと、隔離増殖率はβ＝0.9×0.5＝0.45となります。その結果 ξ1=30 %からξi＝1０－３% まで収束するに要する日数は
i－1= (lnξi－lnξ1)/lnβ＝(6.9+3.4)/0.８ =12.8
となり、2週間ほどで収束します。
なおまた、S/n=0.5の検査率は臨界検査率 (図8) を大きく超えているので、自粛対策を取らずに、普段の生活を維持したまま感染を収束させることもできます。すなわちそのとき、α=1.03 (図11,c)にとると、β＝1.03×0.5=0.51となり、ξi =1０－３%への収束日数は約 15日になります。もちろんこの場合は、住民の経済的損失を考える必要が無くなります。さらに検査率をS/n=0.8に増やせば、β＝1.03×0.2=0.206となり、収 束 日 数は約1週間に短縮されます。
世田谷区内の感染分布の具体的調査なしに結論的には言えませんが、このような重点的検査を逐次行えば、感染が進んだ現在でもなお感染を比較的早く収束させることが出来そうに思えます。ただしそのためには、検 査 率 の大 幅な拡大が必要です。同時にまた、陽性者を隔離し回復させるための医療施設の充実が必要になります。
幸いなことに、世田谷区においては、保坂区長の主導により、全国にさきがけて感染の早期終結を目指したPCR検査率の拡大が図られる、と報じられています。またその指導に当たられる児玉龍彦氏(東京大学先端科学技術研究センター名誉教授)はエピセンターを中心とした地域の重点的なPCR隔離検査の重要性を指摘しておられます。今後の成果が期待されます。
5．おわりに
以上の論考を結論的にまとめると、新型コロナウイルスの早期収束のための対策として重要なことは、自粛対策とともに、十分に高い検査率で隔離PCR検査を行うこと、これらの対策を感染のできるだけ早い段階でとること、また限られた検 査 能 力のもとでは、とくに高い感染率の地域をできるだけ広く選び、無症状者および軽症者を含めて重点的に検査すること、などです。
このうちでも感染初期において、高い検査率で隔離検査を行うことは特に重要です。そうすれば陽性者の隔離保護が容易になりますし、自粛対策をとらなくてもきわめて早期に、市民の経済的損失なしに感染を収束させることができます。
PCR検査の思い切った拡充は、コロナ禍の収束と今後の再発防止のために早急に取られるべき対策と考えられます。世界的にもこのことは認識されているようで、たとえば、かって米国のエピセンターといわれたニューヨーク州は毎日７万人の検査を実施することにより、危機を脱し感染率を１%以下に抑えることに成功しています。ドイツにおいても、バイエルン州(人口1300万)では、誰でも、いつでも、何回でも、検査がうけ
られるようにPCR検査の拡充が進められている、と報じられています。
一方我が国においては、政府も最近ようやくPCR検査拡充の必要性を認めはじめてはいるようですが、いまだ自治体任せで、政府として主導的に抜本的対策をとるにはいたっていません。
今回のコロナ禍は、単に一伝染病の問題にとどまらず、人類による自然破壊に対する警告として、またすべてを自己責任として社会保障に対する公の役割を軽視してきた、いわゆる新自由主義の破綻を示すものとして受け止めるべきだ、との指摘もなされています。今回のコロナ禍に対する対策は一部の専門家のみならず、広く一般国民によって議論さるべき問題であると考えます。
謝辞
この小論をまとめるに当たり、原稿の通読、疑問点のご指摘を給わり、また終始関心をもって励まして下さった真鍋惇氏（宇部高専名誉教授）、西川栄一氏（神戸商船大学名誉教授）、新田保次氏（大阪大学名誉教授）のお三方に厚く御礼申し上げます。
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注釈
１） 筆者(姫路工業大学名誉教授)は材料科学の研究教育に携わってきた者で、疫学分野はまったくの素人です。
２）新型コロナウイルスに関する最近の疫学的研究として、
(1)小田垣孝、新型コロナウイルスの蔓延に関する一考察、物性研究•電子
版、Vol, No.2(2020),
(2) 小野京右•菊池勝昭、新型コロナウイルス流行に関する解析と抑圧対策
について、日本機械学会 https://www.or.jp/activity-to-covid 19/20200810/
があります。
これらの論文ではいずれも、隔離PCR検査を拡充することの重要性が指摘されていますが、筆者（荻野）のモデルとは論理構成が異なり、筆者にはまだよく理解できていません。
３）市民は都市、市、町村、企業、病院等大小の集団の構成員を指します。
4) 大阪府については府発表の日毎検査者数および陽性者数から、陽性率の7日間移動平均値とさらにその５日平均値を算出し、プロットしました。
補足
1)第1波感染において、対数陽性率の上昇から下降への移行は、自粛作用によって１日当たりの感染者数δｒi が正から負に転じた結果生じました。
死者数が回復者数に比べて無視できるとすると、δｒiは(5)式によって与えられますが、緊急事態宣言によって新規回復者数（δｒi（新回））が急増するとは考え難いでしょう。そこで、新規回復率(δｒi（新回）/ｒi-1)は対数陽性率曲線のピーク前後で一定に保たれると仮定します。そこで、(6)式から
α(上昇)－1= {δri(上昇,新感)－δri(新回)}/ ri-1 （A.1）
α(下降)－1= {δri(下降,新感)－δri(新回)}/ ri-1 （A.2）
とおくと、(A.1)－(A.2)より、
α(上昇)－α(下降)=Δri/ ri-1 (A.3)
(ただし、Δri ＝δri(上昇,新感)－δri(下降,新感))
となります。“上昇”、“下降” はそれぞれピーク前と後の過程を意味します。
図10から求めたα値から、新規感染率のピーク前後の差（Δri/ ri-1） を求め、下表に示しました。
東京都 埼玉県 神奈川県 大阪府
α(上昇) 1.08 1.04 1.04 1.04
α(下降) 0.90 0.91 0.96 0.89
Δri/ ri-1 0.18 0.13 0.08 0.15
新規感染率の差は東京都の場合が最も大きく、18%です。自粛対策によって新規感染率が18%低下したことを意味します。ついで、大阪( 15%) 埼玉(13%),神奈川( 8%)の順に小さくなります。
同様の計算を第2波(図11)についても行うと、
東京都 大阪府 世田谷区
α(上昇) 1.06 1.07 1.03
α(下降) 0.95 0.97 0.98
Δri/ ri-1 0.11 0.10 0.05
となり、新規感染率の低下割合が第1波より低くなります。これは、自粛努力が第1波におけるより少ないことの結果と考えます。
