新型コロナウイルスの感染収束に必要なPCR検査件数についての考察

   長らくご無沙汰しました。Yogin（荻野喜清)です。私は昨年、コロナウイルスの感染収束挙動について考察し、感染を早期に収束させるためには大規模なPCR隔離検査が必要であることを主張しました^１）。しかし現実には行われず、自粛対策と、クラスターや濃厚接触者を追跡することに終始してきました。
　その結果、我が国においては現在（2021年6月中葉）、第4波からさらに感染力の強いデルタ変異株による第5 波に襲われています。最近はようやく収束に向かい、緊急事態宣言も解除されましたが、第6波へのリバウンドが懸念されています。
　そこで今回は、今後の感染対策の一助にもと、前報の考察で足りなかった問題、すなわち感染が疑われる人達を対象とする選択的検査の効用、感染を早期に収束させるに必要なPCR検査件数等についてより具体的に検討した結果を紹介させていただきます。

I.コロナウイルスの感染挙動を記述する簡単なモデル 
　前報^{1 ）}と重複しますが、私が考察の基にした “簡単なモデル”について若干の補足を加え、もう一度説明します。
　コロナウイルスに対する疫学的対策として、自粛と隔離があります。自粛はマスクの着用、会食や各種イベントの開催による人々の密集を避ける、などによるものです。隔離はPCR検査を主とする感染検査によって確認された陽性者を隔離保護することによって、感染の拡大を阻止しようとする対策です。

1.非隔離検査
　はじめに、自粛対策のみがとられ、陽性者の隔離が行われない場合の感染挙動を考えます。1日1回、人口ｎ人の市民から選ばれた対象者S人に対して、PCR検査をします。
実際の市内には、たとえば各種イベント会場や事業所などにおけるクラスターの発生があるでしょう。しかしここでは、クラスターのような限られた場所における集団的な感染はなく、陽性者は市内に均一に分布していると仮定します。また、検出された陽性者は隔離せずに検査後直ちに市中に戻されるとします。したがって、隔離効果は全くありません²⁾。

　基準として適当に選んだ初回検査（1回目（ｘ＝１）の検査）からx回目の検査（初回からx-1日後の検査）における検査件数をS(x), 検出された陽性者数をR(x)とすると、陽性率すなわち検出された陽性者の検査対象者数に対する割合は

　　　　　　　                    　ξ(x)= 100R(x)/S(x)　　(%)                              (1)

で与えられます。
　市内における陽性者の分布は均一なので、

　　　　　        　           　 　R(x)/S(x)= r(x)/n                                             (2)

　　　　　　             （r(x)は全人口n人中の陽性者数）

の関係が成立します。したがって、(1)式は

　　　　　　   　　 　　    　　ξ(x)= 100r(x)/n　　(%)                                (3)

に等しくなります。
　x日と、その前日における市内感染者数の比

　　　　　　　　　 　　　　　α=r(x)/ r(x-1)　　　　　　　　　　　　 （4）

を非隔離増殖率と呼びαで表します。非隔離増殖率は隔離などの操作なしに増殖するときの増殖率です。マスクの着用や手洗い、三密を避ける等の市民による自粛努力、ならびにウイルス自体の感染力、感染者自身の回復力、ワクチンの接種、効果的な薬剤の使用などに依存します。
　x -1日からx日にかけての1日間における市内感染者の増減を

　   　　　　　　　　 　　　δr(ｘ)= r(x)－r(ｘ-１)　 　　　　               　(5)

と記すと、x日における市内感染者数は

　                                           r(x)＝r(ｘ-１)+δr(ｘ）　　　　　　      　　  (6)

となります。
　δr(x）はx日における新規感染者数^３)と新規回復および死者数からなり、次式で与えられます。
　　　　     　　     　δr(x）＝δr(x)（新感）―δr(x）(新回、死）　       　(7)

　一方、x日の新規回復および死者数は、それぞれ前日の感染者数r(x-１)に比例すると仮定します。そこで、比例定数をそれぞれμおよびρとすると、

　　                                           δr(x)＝r(x-1)(μ－ρ)　　　　                       (8)

となります。μを新規感染率、ρを新規回復率（死亡は省略）と呼びます。
 （6）式と(8)式からx日の市内感染者数は

                                                r(x)＝r(x-１)+δr(x）

                                                      ＝r(x-１)[1+(μ-ρ)]　　　       　　　　　(9)

となります。
(9)式の両辺をr(x-１)で割ると、非隔離増殖率αは

　　　　　　　 　　　       α＝r(x）/r(x-１) = 1+(μ－ρ)　　　　     　　  (10)

となります。μおよびρは、それぞれ前日の市内感染者一人当たりの新規感染者数および新規回復者数を 表します(図１)。　日にち(x)のある 区間において μと ρが一定のとき、その区間内でαは一定となります。

   r(1)=1 (第1回目の検査(x=1)における陽性者数

    r(2)=2 (第2回目の検査(x=2) における 陽性者数

         = r(1) +δr(2)(新感) －δr(2)(新回、死)＝１+１－0＝２

   r(3) = r(2)+δr(3)(新感)－δr(3)(新回、死)＝2 + 2－0＝４　　　　　

   r(4) = r(3)  +δr(4)(新感) －δr(4)(新回、死)＝4 + 6 －2＝8

   r(5)= r₄ +δr₅(新感) －δr₅(新回、死)＝7+12－4＝15

　図１　非隔離検査における市内陽性者数の推移,   (6)(7)式。初回検査（x=１）における１名の陽性者から、５日目(x＝５)には15名に増加する。

　新規感染率μはウイルス本来の感染力、未感染者の感染感受性、ワクチンの 接種、生活習慣、マスクの着用、外出抑制などの自粛措置に依存します。新規回復力 ρ はウイルス本来の性質、感染者自身の回復力、ワクチンの接種、効果的な薬剤の使用などに依存します。

　　μ＝ρのとき、α＝１となり市内感染者数は一定に保たれます。μ＞ρのとき、α＞１となり感染者は日数とともに増加します。μ＜ρのときはα＜1となり、感染は収束に向います。

　αが一定のときは、

　　　　　　　　　　　　　       　r(x)＝r(1) α^x-1                                       (11）

の関係が成立します。r(1)は初回（x=1）の検査における市内陽性者数です。

　α>1のとき市内感染者数は日数とともに指数関数的に急増します。α＝1.104のとき、市内感染者数は1週間毎に倍増します。

　(11)式の両辺の対数(自然対数。常用対数でもよい)をとると、

                                             ln r(x)＝(x-1) lnα + ln r(1)          　               　   (12)

となり、ln r(ｘ)とx-1の間にlnαの勾配をもつ直線関係が成立します。

　(2)式が成立するときは、

　　　　　　               　R(x)/S(x)＝ r(x) / n＝r(1) α^X-1 / n　 　　　 　         (13)

 より陽性率は

　　　　　　　　 ξ(x) ＝100R(x)/S(x)＝100 r(1)  α^X-1/ n　(%)　　                (14)

となります。両辺の対数をとると　　

　　　　　                   　ln ξ(x) ＝ln (100R(x) / S(x))

                                                  ＝(x-1) lnα + ln ξ(1)　  　　　   　　　          (15)

　         　　　　   ただし、ξ(1)＝100 r(1) / n　(%)                                    　 (16)

の関係が成立します。αが一定のとき、(15))式よりlnξ(x)とｘ-1の間に直線関係が成立し、その勾配から lnα、したがって非隔離増殖率 α が求められます。　

　2. 隔離検査　

    つぎに検査対象者を全市民から無作為に選ぶPCR検査において、検出された陽性者を隔離保護するときの隔離効果について考えます。今度は、市内にクラスターが発生する場合を含めて考えます。市内の限られた場所で発生したクラスターは、その陽性者全員が感染者として確認され隔離されることもあれば、その一部が市内に流出することもあります。そこでいま、隔離　されたクラスター感染者以外の［市民］（カッコつきで表示）から無作為に選んだ S人の［市民］についてPCR 隔離検査を行います。［市民］は［市内］に均一に分布していますから（2）式が成立します。したがって、S人の対象者について検査された平均の陽性率は全［市民］の平均陽性率に等しいとみなされます。

　図2に隔離検査のときの［市内］陽性者数の日数による変化を示しました。

　　　　　　 図2   隔離検査における[市内]陽性者数の変化(模式図)

大別して、β＞1、 β=１、β＜３の三つの場合があります。β＞1(α>1)の場合(図2の（１）)は隔離があっても陽性者が日数とともに増加します。[市内]陽性者数がr(x)のとき、PCR検査によって確認された陽性者R(x)人を隔離すると[市内]に残存する陽性者は

　　　　　　　　　　　　  　  ｒ(x)’ ＝ｒ(x)－R(x)                (17)

になります。この状態から1日後に、［市内］陽性者はｒ(x+1)に増殖します。ｒ(x)’ からr(x+１）への増殖は、非隔離増殖率αを用いて

　　　　　　　　　　　　　　　r(x+1) = αr(x)’（18）

となります。　(17)式を用いると、

　　　　　　　　　　    　　　  r(x+1)=α{ｒ(x)－R(x)}     　   　　  　  （I9）

となります。

 (2)式が満足されるときR(x) は

　　　　　　　　　　　   　　    R(x)＝r(x) ( S /n)         　　　  　        　(20)

と表されます。この場合、人口nはx-1日までに隔離された陽性者を除いた［市内］人口ですが、全人口で近似します。

(I9)式と（20）式から、

　　　　　　　　　　          β＝ｒ(x+1)/ｒ(x) ＝ α (１-S/n)              　     (21)

の関係が成立します。比率βを隔離増殖率と呼びます。

　β=１(α>1)のとき（図2の（2））、r(x)は一定に保たれます。β<1のときは、α<1とα>1の場合が含まれます(図2の(3),i,ii)。［市内］陽性者数r(x)は日数とともに減少します。これら全ての場合に(17)～(21)式が成立します。

　βは非隔離増殖率αと検査件数Sが一定あるいは、検査率 (S/n)が十分に小さくβ≒αのときほぼ一定となります。そのとき、隔離検査におけるx日の[市内]陽性者数および隔離陽性率 について、それぞれ　

　　　　　　　　　　　　　　ｒ(x) ＝ r(1)β^X-1　　　　　　　　　    　(22)　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　ξ(x)＝ ξ(1) β^X-1                     　              (23)

         ただし、                              ξ(1)＝ 100 r(1)/n             　          　    （24）

の関係が成立します。

（22）式および(23)式から、

　　　　　             　　　　lnｒ(x) ＝(x-1) lnβ + ln r(１)                                     (25)　　　　　　　　

                                                ln ξ(x)＝(x-1) lnβ + lnξ(1) 　　　　　 　      (26）

の関係が得られます。 (26)式を用い、lnξ(x)と経過日数(x-1)の間の直線関係からlnβ,従ってβの値を求めることができます。

　いま感染収束時における陽性率をξ^*とすると、ξ(1)から ξ^*へ収束するに要する日数は、(26)式から

　　　　　　　      　     　x-1 ＝｛lnξ^*－ ln ξ(1)｝/ ln β　　　　　　　  (27)

となります。　

　検査率（S/n）が十分に大きいとき、隔離増殖率βは大きく低下し、コロナ感染の収束日数は著るしく短縮されます¹⁾。

3.　選択隔離検査　

 わが国においては、限られたPCR検査能力のもとで、感染者との濃厚接触者やすでに症状のある少数の市民を選択して検査を行い、陽性者を隔離してきました。検査対象者を陽性疑いの濃い者から選択的に選ぶこの種の検査を選択隔離検査（略して選択検査）と呼びます。その隔離効果について考察します。検査対象者は［市民］から選ぶこととします。

　選択検査においては、［市民］から選ばれた検査対象者S_c人の陽性率 (以下選択陽　　　　　　　

性率 ξ_Cという)と無症状者を含めた［市民］の平均陽性率 (ξ)は一致しません。したがって(2)式は成立しません。

　1日当たりS_c人の［市民］［を対象とした選択検査において、非選択検査の時のR(x)人より多いR_C(x)人の陽性者を検出し隔離保護したとします。x日における選択陽性率は

　　　　　　　　　　　　　ξ_C(x)=100 R_C(x)/S_c    (%)　　　　　　　　　(28)

となります。

 図3　選択隔離検査における[市内]陽性者数の変化 ；β_c<１、α<1の場合。(図2のR（x）がR_C(x）に変わるだけなので、他の場合は省略)

　図3に示すように、[市内]の全陽性者数がr(x)のときに選択検査を行うと、検査対象者S_c人中の陽性者R_C(x）人は隔離保護され、[市内]陽性者数はr(x)’(=r(x)-R_C(x))人に減少します。この状態から１日後には[市内]陽性者数はr(x+1)に増殖します。x+1日の検査によってR_C(x+1）人が隔離保護され[市内]に残存する陽性者数はr(x+1)’人^’になります…。

　このようにして検査毎の隔離,増殖を繰り返して、[市内]陽性者数はr(x), r(x+1),r(x+2)…と変化します(図3)。ここで、[市内]陽性者数が隔離直後のr(x)’, r(x+1)’_,…から1日後のr(x+1)_,r(x+2)_,…_,へ移行するときの増殖率は、非隔離増殖率αに等しいとみなされます。そうすると、

　　　　　　　　　　α= r(x+１) / r(x)’＝ ｒ(x+1) /｛ｒ(x) - R_C(x)｝            (29)

                   　　　　　　　  ｒ(x+1)＝ α｛ｒ(x) - R_C(x)｝     　　　　         (30)

の関係が成立します。

　非選択隔離検査と選択隔離検査における陽性率の比

　　　　　　　　　　　　　　b ＝ξ_C (x) / ξ(x)　　　　　　　　　　　　　(31)

を選択率と定義します。

　両検査の検査件数をS およびS_C とすると、両検査で検出された陽性者数が等しくＲ(x)＝Ｒ_Ｃ(x）のときは

　　　　　　　　　　　　　ｂ＝(R_C /S _C) / (R/S}＝S / S_C　　　　　　  　　(32)

となり、したがって

　　　　　　　　　　　　　 　　　b S_C ＝ S                     　　　　　         (33)

となります。

　すなわち、同数（R（ｘ）＝R_C（x））の陽性者を検出するに要する検査件数は、選択検査においては非選択検査のときの1/bになります。どちらにしても、［市内］の陽性者数（r(x)）に変わりはありません。そこで、(20)式に(33)式を代入すると、

　　　　　　　　　　　　      　R_C(x) ＝ b S _cr(x) / n                                    (34)

となります。

　ｎは正しくは全市民から前日までに隔離されている陽性者を差し引いた数ですが全人口で近似します。

(32)式を（30）式に代入すると

　　　　　　　　　  　　　r(x+1)＝α r(x) { 1- (b S_c /n)}　　　　　　　   　(35) 

となります。ここで、選択検査におけるx日とx+1日の［市内］陽性者数の比

　　　　　        　　　　　β_C＝ｒ(x+1) / r(x)

                                                ＝ α{1- (b S_c /n)}                                               (36)

を選択隔離増殖率(略して選択増殖率)と呼びます。S＝ｂS_ｃなので、βに等しくなりますが、選択的に対象者を選んだという意味でβと区別します。

　β_C>1のとき［市内］陽性者は日数とともに増加し、β_C<1のときは減少し収束に向います。β_C＝1のとき陽性者数は一定値に保たれます。

　x＝１～x　の区間において、β_Cが一定に保たれるときは、その区間内において

　　　　　　　　　　　　　　r(x) = r(1) β_c^x-1　　　　　　　　　   (37)

の関係が成立します。　　　　　　　

(23)式と (3１)式を用いて、ξ_C(x) は

　　　　　                　       　ξ_C(x)＝b ξ(x)

                                                        ＝b ξ(1) β^X-1

　　　　　　　　                   　　＝ξ_C(1) β_C^X-1    (%)    　　　                     (38)

           ただし、　　                       ξ_C(1)＝b ξ(1)            　                             (39)

となります。両辺の対数をとると

　　　　　　　　  　           ln ξ_C(x)＝(x-1) ln β_C + ln ξ_C(1)                            (40)

となります。

β_C が一定の 区 間においては、(40)式 から対数隔離陽性率lnξ_C(x)と経過日数（x－１）の間に直線関係がなりたち、その勾配からlnβ_Cが求められます。

選択隔離増殖率β_Cがほぼ一定の区間内において、第1回目(x=1)の選択検査のときの陽性率ξ_C(1)が与えられたとき、選択陽性率がξ_C^＊まで収束するに要する日数x-1は (40)式から

　　　　　　　　　　      　　x-1={ln ξ_C^*-ln ξ_C(1)} / ln β_C       　　　  　 （41）

となります。逆に、x-1日間で収束するときの選択増殖率は、

　　　　　　　　　　　　　ln β_C＝{ln ξ_C^*-ln ξ_C(1)} / (x-1)        　　     　（42）

から求められます。

　β_Cが長期に亙って一定にならねばならない理由はありませんが、実際には数週間以内であればほぼ一定値とみなされる区間が生じます。その区間内においては(41）式あるいは(42)式が適用されます。

　bが１から1000の間の一定値をとるときのβ_C/αとS_c/nの関係を(36)式から求め図4aに示しました。

　図４b に、S_c /nが種々の一定値をとるときのｂとβ_C /αの関係を示しました。

図4aから明らかなように、b　が一定のとき、β_C /αは選択検査率(S_c /n )が小さくなるとβ_C/α≒1の一定値に近づきます。β_C /α≒１の区間では、隔離効果はほとんど無く、αが一定のときβ_Cはほぼ一定になります。このときは(37)式が成立します。

　またｂが大きくなるほどβ_C /αは低下しますが、その度合いは検査率S_c /nが大きくなるほど増大します（図4b）。                       

　　　　　         図4a b＝1～1000のときのS_c /nとβ_c /αの関係（(36)式より計算）

　

                 図4ｂ 種々のS_c /n 値におけるｂとβ_C/αの関係（(36)式より計算,　　　

　　　　        　直線に付した数値はS_c /n 値）

                   II.  PCR検査の開始時期を早め、検査数と選択率を増やすこと

　　　　　　 によって期待される感染収束効果

　PCR検査体制を抜本的に拡充することの必要性は、これまでも一部の専門家によって度々指摘されてきました。

　しかし一般国民、そして専門家の中においてさえ、その必要性を理解している人は少ないのではないでしょうか？　

　そこで以下において、阪神間のいくつかの自治体におけるPCR検査の結果を分析するとともに、PCR検査体制の抜本的充実とそれによってもたらされる感染の抑制効果について考察します。

１．対数陽性率からみた感染動向

　対数陽性率（lnξ_C）と経過日数(x-1)の関係を、大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人)、兵庫県（n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）を例にとって図5に示します。期間は2020年3月9日から2021年　6月13日までです。対数陽性率は一週間毎の平均値、経過日数(ｘ-1)は一週間の中央日にとりました。同図には一週間当たりのPCR検査件数(ΔS_c)と 新規陽性者数(ΔR_C)も示しました。

図５

図5　大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人）、兵庫県（ n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）における、コロナウイルス感染の対数陽性率と経過日数（2020年３月～2021年6月）の関係。Δ_cSとΔR_Cはそれぞれ、1週 間当たりのPCR検査件数、および新規感染者数。1週間毎の平均陽性率はξ_C=(ΔＲ_C /ΔS_c)×100 %.　(4/11)(7.30)等はピークの月日を表す。

表１　大阪府（人口n=880万人）、大阪市（n=270万人)、兵庫県（n=510万7千人）、兵庫県神戸市（n=152万人）、および兵庫県西宮市（n=52万７千人）におけるコロナ感染第1～4波の感染過程（β_C,1～β_C,4）と収束過程（β_C,1^‘～β_C,4^‘ ）における増殖率。

表2　第1～4 波のピーク近傍における日毎検査率（S_c/n）の最大値

　全体の経過は感染の第1波～第4波からなります。lnξ_c vs (x-1)の関係は、直線の連なりからなります。これらの阪神間の都市が人的、経済的に密接な関係にあるためか、変化の傾向は5自治体でよく似ています。

  そこで、各波の都市間における対応関係を確かめるために、各波の感染過程と収束過程における増殖率を直線の勾配から求め (図5)、表１に纏めて示しました。

　各波の増殖率は都市間でほぼ一致した値をとります。平均値でみると、第１，２波の感染過程において、増殖率（β_C,1, β_C,2,）は、1.071～1.083の高い値をとります。第1波の収束過程では、緊急事態宣言の効果によるものか（図５大阪府参照）、収束時増殖率(β_C,1^’)は0.904と低下します。しかし、第2波へリバウンド後の収束時増殖率(β_C,2^’)は0.965で、高い値になり、その後の変動においても、収束時増殖率は0.95以下には下がりません。

   一方、すべての自治体において、新規感染者数（ΔRc）は第1波から第4波にかけて増減を繰り返しながらも全体として増加する傾向にあり、それに応じてPCR検査件数(ΔSc)も増加します。たとえば、大阪府を例にとれば、第1波ピーク時の1日当り検査件数(Sc=ΔSc /7)と1日当り新規感染者数(R_C=ΔR_C/7)はそれぞれ、403件/日および58人/日ですが、第4波のピークにおいては、それぞれ15023件/日および1127人/日に増加します。

　選択隔離検査における隔離効果は(36)式にみるように、b(S_c/n)の値が大きいほど大きくなります（β_C /αが低下する）。そこで、各自治体について、第１～4波のピーク付近における日毎検査率(S_c /n)の最大値を比較しました。

　表2に示したように、各波の日毎検査率は各自治体において経過日数とともに、ほぼ同様に増加しています。平均値でみると、第１波における4.6×10^-5から第4波における1×10^-3まで増加します。

  他方、選択率bについては、その値を特定することは困難ですが、一般的傾向として、感染初期においては、[市内]に新規発生する陽性者や濃厚接触者が特定され易く、したがって後期に比べ選択率は高くなるでしょう。感染が進むにしたがって、[市内]における陽性者の分布が均一になり数が増すために、その特定が困難になるとともに、保健所などの担当職員の人員不足と相まって選択度は低下すると推定されます。

　図5，表１にみるように、lnξ_C vs (x-1)直線の全過程において、収束時増殖率の最低値は第1波のβ_C、^’ ＝0.9で、それ以下には低下しません。この事実は次のように理解されます。第1波の検査率はS_c /n<5×10^-5(表2)で極めて低い。図4aから分かるように、このように低い検査率では、b>1000 の 極めて高い選択率で検査しなければ  隔離効果は望めません。  

   日数が経過して 感染者数  が増加するに伴って、検査率 は 増加します。第 4  波ではS_c/n≒1×10 ^-3 になります(表2)。しかし、収束時増殖率はβ_C、4^’＝0.95で第1波のときより高い値になります。収束時増殖率のこの増加は第1波のときにくらべ、市民の自粛意欲が低下した結果と考えられますが、隔離効果からみても、増殖率の低下は期待されません。図4a にみるように、S_c /n≒1×10 ^-3の検査率では、たとえば β_C,4^’/α=0.95という僅かな隔離効果を得るにも、b=40の 高い選択率が必要です。感染初期ならともかく、感染の進んだ第4波においてb値はそれほど高くはないでしょう。したがって、第1波から第4波までの全過程を通じて、顕著な隔離効果を得るには検査件数が少な過ぎます。おそらく、全過程を通じて、β_ｃ/α≒１の状態にあり、測定されたβ_ｃおよびβ_ｃ^′はそれぞれ、感染および収束過程における非隔離増殖率αに近いと推定されます。

• 選択隔離検査による感染収束効果

  前節で導いた選択隔離検査の関係式に基いて、コロナ感染を早期に収束させることが可能か、具体的に検討します。基本となる関係式を改めて下記に示します。

　　　　　　　　　               　b ＝ξ_C/ξ ＝S / S_c    (>1)                            (32)

                                                  β_C＝α[1-（bS_c / n)]　　　　　　　　     　(36)

                                                            r(x)＝r(1) β_C^X-1                                  (37)  

                                                  ξ_C(x)＝ ξ_C(1) β_C^X-1   (%)  　　　　　　　  (38)

                                              ln ξ_C(x)＝(x-1) ln β_C + ln ξ_C(1)                 　    (40)

　　　　　　　                     　 x-1＝{ln ξ_C^*- ln ξ_C(1)}  / ln β_C         　       （41）

　　　　　　　　　             　ln β_C＝{ln ξ_C^*- ln ξ_C(1)} / (x-1)       　          （42）

                     (非選択の隔離検査（b=1）のときは、下付きの“c”をとり去ります。)

　モデルケースとして、人口10万人の都市におけるコロナウイルス感染の収束挙動について考えます。

　初回（x=1）の隔離検査における対数陽性率がlnξ(1)=0（ξ(1)＝1.0（％））のとき、対数陽性率がlnξ^*＝-5（ξ^*＝0.0067%;～7人/10万人の陽性者）に収束するのに１週間を要する場合を考えます。この1週間において、隔離増殖率(β)は一定に保たれると仮定します。このときのβは (42)式から、x-1=7と置くと

　　　　　　　　　               ln β＝（-5-0）/ 7 = -0.714 ,　　                (43)　　　　　　

故にβ＝0.490となります。

　いまの場合、収束までの期間が短いので市民に自粛努力を要請することにして、α＝0.95と置きます。そうすると、(36)式からβ＝0.490のとき、

　　　　　　　　                        S/n=1-β/α＝0.484,　　                        (44) 　

n=10^５のとき、 S＝4.8×10⁴, 1日当たりの検査件数はS＝4.8×10⁴ （件/日）となります。

選択検査のときは、(32)式から S_c＝S/bとなります。もしb=10の選択が可能ならば、S＝4.8×10^３ （件/日）に減少します。　（ただし、 Sは、人口に比例して増加します。）　

　図6-Aにα＝0.95の場合について、隔離増殖率がさきの7日間収束のときと同じ値（ β_C＝0.490）で、初回対数陽性率（ln ξ(１)）が3～-4に変化したときのln ξ vｓ(x-1)の直線関係((40)式)を描きました。βが一定ですからこれらの直線は全て等しい ln β の勾配をもち、またS/nも先の7日間収束のときと同じくS/n＝0.4842、n=10⁵のとき S＝4.8×10⁴（件/日）、となります。

　図から明らかなように、収束日数を短縮するうえで、初回陽性率の低い段階から隔離検査の対策をとることが極めて重要です。S＝4.8×10⁴（件/日）の検査件数でln ξ_c(１)＝0 (ξ_c(１)＝1%)からln ξ^*＝-５（ξ^*＝0.0067%）まで収束するのに７日間を要しましたが、たとえばln ξ(１)＝-3（ξ(１)＝0.05%）の最初期段階から隔離対策をとると、それぞれ、3日および2日以内に収束させることができます。

　図6-Bに、ln ξ^*＝-5までの収束日数を7日間に固定し、初回対数陽性率（ln ξ(１)）を変化させたときの ln ξvs (x-1)の直線関係を示しました。この場合は直線の勾配が変わるので、βと Sの値は図中に示したように、直線毎に変わります。

　この場合は、初回対数陽性率を低くとることによって、検査件数はいくらか少なくなります。　　　　　　

　　　

図6-A  初回対数陽性率をln ξ(1)＝3～-4, 隔離増殖率β＝0.490（α＝0.95）としたときのlnξ vs (x-1) 直線。検査件数はいずれの場合もS=4.8×10⁴ 件/日。ln ξ=-5のときの（ｘ－１）値はln ξ^＊＝－5までの収束日数を表す。たとえば、赤線で示したように、ln ξ(１)=0のときln ξ^＊＝－5( ξ^＊=6.7×10^{- 3} %)まで7日で収束する。　　　　　　

　

図6-B 収束日数を７日間に固定して、初回対数陽性率をln ξ(1)＝3～-4に変え　　　

たときの直線関係。直線上の数値は（β,S）を表す。

　これらの関係を指針として、感染の収束案を作成することができます。例を挙げます。都市人口は10万人とします。大阪市２３区の人口は約270万人ですから、1区当たりの平均人口です。

• 収束例（1）

　感染がかなり進んだ段階からの隔離検査による収束を考えます。初回対数陽性率がlnξ(1)＝3（ξ(1)＝20.09 %, 10万人当たり20900人）,　収束時陽性率 ln ξ^*＝-6、(ξ^*＝0.0025% ;10万人当たり2.5人)、まで5日間で収束させることを目標とします。5日なので、その間市民に自粛努力を要請しますが、最近の感染力の高い変異ウイルスの場合、非隔離増殖率αを１以下に保つことは困難かもしれません。そこでα＝1.1に保たれるとします。そのとき、隔離増殖率は（42）式より

　　　　　　　　　　　ln β＝(-6 -３)/5=－1.8,  ∴　β＝0.165

となります。検査件数は(36)式より

　　　　　　　　　　　S＝{(1－0.165 /1.1）×10⁵} =85000　件/日

となります。選択検査のときは S_ｃ=85000/b 件/日となります。たとえば、ｂ＝10とすると、必要な検査数はS_c＝8500件/日となります。

　参考のため、収束までの変数値の変化を図7　と表3に示します。

　　図7　収束過程における[市内]陽性者数（r(x)）の変化（模式図）

表 3    収束例１の収束過程における諸変数の変化。α＝1.1として、次式を用いて計算した値。

r(x)=r(1)0.165^(x-1),  r(x)’＝ｒ(x+1)/1.1,  R(x)=r(x)-r(x)’

ξ(x)(%)＝20.09×0.165^x-1,  ξ_ｃ(x)＝bξ(x).　　　

S=85000件/日の非選択隔離検査を行うと、5日後(x=6)には、ξ(x)＝0.0025(%)に収束します。このとき、１日当たり85000件の隔離検査において見出される陽性者数は平均して

　　　　　        R(6)＝85000×0.0025/100=2.1 人/日

となります。

 選択隔離検査を行うことによって、検査件数を減らすことができます。

例えばb=10 、したがってS_C=8500件/日の選択隔離検査を行うとします。ただしこの場合、初回（x=1）の検査は、R_C > S_C (表3)となるので不合理です。そこで初回の検査は非選択的(S=85000)に行い、陽性率をξ_C(x)(%)=33.1%に低下させた後に（表3）、２回目の検査からS_C=8500 件/日の選択検査を行います。このようにしても、6日目（x=6）には所定の収束状態（r(x)=2.5）)に到達します。選択検査によって検査件数は大幅に減少します。

　選択率をb＝10に上げる手段として、抗原検査キットの利用が考えられます。予め検査キットを全市民に配布しておき、感染疑いの濃い市民を優先してPCR検査対象者に選びます。

　　以上においては、非隔離増殖率をα=1.1と仮定しました。仮に、自粛要請を強化してα＝0.95にできたとしたらどうでしょうか。さきの場合と同じく、初回対数陽性率がlnξ(1)＝3（ξ(1)＝20.09 %, 収束時陽性率lnξ^*＝-6、(ξ^*＝0.0025% ;10万人当たり2.5人)、まで5日間で収束させることを目標とします。

　このとき、隔離増殖率はさきの場合と同じく、

　　　　　　　　　　　ln β＝(-6 -３)/5=-1.8,  ∴　β=0.165

となりますが隔離検査件数は

　　　　　　　　　S＝{（1-0.165 /0.95）×10⁵} =82600　件/日

となります。α＝1.1の場合より、いくらか減少しますが大差はありません。自粛効果は隔離効果に比べて非常に小さいことを意味しています。

   ちなみに、我が国におけるように検査権数が極めて少なく自粛効果のみの場合、すなわちα≒β＝0.95のとき、収束日数は(41)式より、

　　　　　　　　　　x-1 ＝（-６-3）/ ln 0.95 ＝176    日

となります。

収束例２

　もう一つの例として、感染の比較的初期から隔離対策を行った場合を考えます。初回検査時の対数陽性率をlnξ(1)=-3(ξ(1)=0.05%, １0万人当たり50人),収束時対数陽性率は例１の場合と同じくlnξ^*＝-6（ξ^*＝0.0025%, １0万人当たり2.5人）とし、収束日数も例１と同じく5日間とします。隔離増殖率は

　　　　　　　　　lnβ＝ (-6 ＋３)/5=-0.6,  ∴　β＝0.549

となります。隔離検査件数は、α＝1.1のとき

　　　　　　　　　S＝{(1-0.549/1.1)×10⁵}/b ＝50091      件/日

α＝0.95のとき、

　　　　　　　　　S＝{(1- 0.549/0.95)×10⁵}/b ＝42210　　 件/日

となります。検査件数は減少しますが、やはりかなり多い数になります。早期対策の顕著な効果は、隔離者,したがって感染の犠牲者の著しい減少にあります。すなわち、例１の場合はr(1)=2086人から2.5人に収束する間の隔離者数がΣR(x) =20440人であるに対し、例２の場合はr(1)=50人から2.5人に収束する間の隔離者数は僅か 54人になります。

• リバウンドの防止

収束後は直ちに自粛要請を解除します。解除後はリバウンド防止の対策を取らねばなりません。

　収束後の非隔離増殖率がα>1のときは、そのまま放置すると、 (11)式にしたがって

［市内］陽性者は指数関数的に増加します（図８）。

図8　　r(1)=2.5に収束後、α＝1.08〜1.12の状態で放置したときの

10万人当たり陽性者数r(x)と放置日数(x-1)の関係。r(x)は指数関数

的（(11)式）)に増加する。赤線は隔離検査によってβ=1にしたとき。

　市内陽性者数を一定あるいはそれ以下に保つためには、α>1である限り、隔離検査を続行する必要があります。必要な最少の１日当たり検査件数は、(36)式からβ＝1とおいて、次式から求められます。

　　　　　　　　        　　S ＝(1-1/α)n 　件/日                                     (45)

人口10万人の場合、

　　　　　　　　　       　S ＝(1-1/α)×10⁵  件/日                                  (46)

の検査件数が必要になります。

自粛要請を解除するので、非隔離増殖率がα＝1.12に増加したと仮定すると、

　　　　　　　　　　　　     S＝10700　  件/日    　　                      （47）

となります^４）。

　（45）(46)式から明らかなように、市内陽性者数r(x)を一定に保つために必要な最少隔離検査件数はnが一定のとき、αのみによって決まります。市内陽性者数r(x)には依存しません。ちなみに、若干のα値における最少検査件数Sおよび検査率ｂS_C /nを求めると表　4 のようになります。

表4　α＝1.02ないし1.12 において、市内陽性者数を一定に保つために必要な

PCR選択検査率（ｂS_C/n）, および　隔離検査件数 S（ｂ＝1,n=10⁵）件/日）。

  いま、α＝1.12でξ^*＝0.0025%(r(6)=2.5)( 表4)の収束状態において、S=10700 件/日の隔離検査を行ったとします。この場合、１日当たりに検出される陽性者数は平均して

　　　　　　　　　　2.5×10700/10⁵＝0.27  人/日

です。したがって、凡そ４日に１人の割合で陽性者が検出されれば、β＝1の状態に制御されていることになります。それ以上の割合での陽性検出が続けば、リバウンドが起こります。

　しかし、実際には安全を考慮し、β<1の条件下で隔離検査を行うことになるでしょう。

たとえば、収束直後の ξ^*＝0.0025%(r(1)=2.5)の状態から、100日間で陽性率が１/10( ξ^*＝0.00025%, ln0.00025=-8.3)に低下するとき、

　　　　　　　　　ln β＝（-8.3+6）/100＝-0.023, β＝0.98

となります。このとき必要な検査件数は

　　　　　　　　S＝（１-0.98/1.12）×10⁵ ＝12700  件/日

となります。β＝１のときと比べて大差はありません。

　他方、検査件数が少なすぎ、β>1になると、陽性者が検出されなくてもリバウンドが進行していることがあります。たとえば、S=1000人/日で隔離検査を行う場合を考えます。この場合、1日当りに検出される平均陽性者数は、r(x)=2.5のとき、

　　　　　　　　　　2.5×1000/10⁵ ＝0.025　人/日

です。したがって、凡そ40日に１人の割合でしか検出されません。このような場合、ln ξ(x) vs (x-1)の直線関係をプロットすると、ln ξ(x)<0（ξ(x)<１）の区間(Δx)が長く現れます（図9）。そうすると、感染は一応収束したとみなし、自粛要請を解除し、Go To キャンペーンなどを始めるのが通例です。しかし、このような区間は単に検査件数が少ないがために出現するのであって、実際にはβ>1である限り、市内陽性者は増殖し続けています。そして陽性者がある限度を超えるとリバウンド直線（図９）が出現します。このような傾向は図4の第１波から第２波への移行過程においてみられます。このような特徴的な変化は検査件数が不足していることの証といえます。　　　　　　　　

             

　　           　 図9　検査件数が過少なときにln ξ vs x-1関係

　　　　　             に現れる特徴的変化

   関連する問題として、収束後におけるクラスタ-の発生や、市外からの陽性者の流入による市内陽性者の変動について考察します。                              

　図10(a)(b)　　クラスタ－の発生による［市内］陽性者数の変化。(a)β>1,

         　　         (b)β<1のとき。

                         

市内陽性者数がr(x)=2.5人に収束後、自粛を解除したときの非隔離増殖率がα＝1.12であったとします。この後、市内陽性者数r(x)を一定に保つためにはS＝10700件/日の検査件数で隔離検査を行わねばなりません（表４）。それに対し、S=500件/日（実際に行われている件数はもっと少ないが）で隔離検査を行ったとします。その時の隔離増殖率は(36)式から

　　　　　　　　　β＝1.12(1－500/10⁵ )＝1.11

となり、検査件数が少ないためにαに近い値になります。

　図10(a)の曲線r(x)で示したように、市内陽性者数は(37)式から

                                                r(x)=2.5×1.11^x-1                                       (48)  

に従って指数関数的に増加します。

　ｘ＝10(日)において、ある事業所で200名の陽性者からなるクラスタ-が発生しましたが、その全員を隔離保護することができました。しかし、β＞1ですから、市内の陽性者がさきの（4８）式に従って連続的に増加するだけです。

　その後、ｘ＝20(日)に、同じく200名のクラスタ-が発生しました。今回は全員隔離することができず、100名が市内に流出しました。市内陽性者は、さきの(4８)式によるr(20)=20（名）と合わせて、120名になります。X=20(日)以後の日数をｙ(日)で表し、その原点をｘ＝20にとると、その後の市内陽性者数は

　　　　　　　　　            　r(y)＝120×1.11^y-1                                   （49）

となります。ｒ(x)はクラスタ-の発生点において不連続的に増加し、r(y)に繋がります〈図10（a）〉。市内に流出した陽性者が多いほど、クラスタ-発生後のr(y)の増加率は増大します。

　他方、検査件数が10700件/日より多いと、β<1になります。例えばS=15000件/日とすると、βは(36)式から

　　　　　　　       　　　β＝1.12(１-15000/10⁵ )＝0.952                （50）

となります。市内陽性者数は

　　　　　　　　                    　　r(x)=2.5×0.952^x-1                               (51)

となります。x=10日に200名のクラスターが発生しても、全員が隔離されれば、[市内]陽性者は(51)式にしたがって連続的に減少するだけです。X=20日に発生したクラスター200名のうち、100名が［市内］に流出したとすると、その時点で［市内］陽性者は100名急増し、全［市内］陽性者は201名になります（1名はr(20)＝1）。その後、［市内］陽性者は

　　　　　　　　　　                     r(y)＝201×0.952^ｙ-1                      　 (52)

にしたがって減少します。

　β<1ですから、流出陽性者によって［市内］陽性者が一時的の増えても、リバウンドが生じることはありません。

　結局、クラスターを丹念に追いかけ隔離しても、少しでも［市内］陽性者が残存し、β>1である限り、［市内］の感染者は増加し続け、いずれはリバウンドが生じます。

　市民の自粛努力のみによっても、α＜１にできるならば、感染を収束に向かわせることはできます。しかし、我が国の経験からすれば、αの低下は凡そ0.9までです。その程度の自粛においては、完全な収束に到達するまでに、数か月以上を要するでしょう。それに対し、大規模なPCR隔離あるいは選択隔離検査によれば、β＜＜１にすることができ、短期間で収束させることができます。

                                                          まとめ

　PCR隔離検査を効果的に行うことによって、コロナ感染の収束日数を大幅に短縮することができます。そのためには； (1)予め収束までの日数を目標として定め、そのために必要にして十分な件数のPCR隔離検査を行わねばならない。たとえば人口10万人の都市で、5日以内に十分に低い感染水準まで収束させるには、凡そ8万件/日の隔離検査が必要です。現在の検査体制下でこのような大規模検査が無理なときは、陽性疑いの濃い検査対象者を選んで隔離検査を行えばよいでしょう。そうすることによって、検査件数を大幅に減らすことができます。検査対象者の選択には、抗原検査キットの利用が考えられます。

(2)隔離検査対策は感染のできるだけ初期に行うことが望ましい。対策をとる時期が十分に早ければ、感染者は激減します。隔離保護される陽性者は少なくて済みますし、コロナ禍に関わるすべての犠牲者が大幅に減少します。(3)コロナ感染が収束後もリバウンドを防止するために、隔離検査を続行する必要があります。必要な検査件数を見積もると人口10万人当たり5千ないし1万件/日になります。現在我が国で行われている自粛要請と小規模検査のみによって、リバウンドを防止することは極めて困難です。

　　周知のように、我が国においては厚労省を中心に、政府関係者や専門家の多くがPCR検査の抜本的拡充に強く反対してきました。その理由として、PCR検査は精度が低いから、感染しているのに陰性と判定される疑陰性者が市内に出回り感染源となる、あるいは検査数を増やすと医療崩壊が起こる、などの説明がなされてきました。最近はこうした奇妙な説は聞かれなくなりましたが、それに代わって、大規模検査は “検査効率が低いから無意味”、との声を一部の政治家や専門家の見解として耳にすることがあります。しかし、これも誤りです。問題は検査効率ではありません。“クラスターつぶし”は　"効率的”でしょうが、それによってリバウンドを防止することはできません。

　新型コロナ第６波が懸念されているいま、ワクチン接種と新しく開発された薬剤投与の効果が期待されています。勿論それらは重要ですが、それだけに頼ることなく、大規模なPCR隔離検査を含めた万全の対策をとれるよう準備を整えることが必要と思います。

註釈

• YOGIN‘s blog 新型コロナウイルスの感染収束を予測する簡単なモデル　　　　　　https://Yogin.hatenadiary.com/

2 )実際のPCR検査は、発見された陽性者が隔離されるから隔離検査ですが、ここでは、仮想的に陽性者が隔離されない場合を考えます。

3)感染の仕方には接触感染、エアゾルによる間接感染などがありますが、感染の仕方に拘わりなく新規感染者数は前日の感染者数に比例すると仮定します。

4) デルタ変異株の感染力が従来株の数倍と報道されていたので、α＝1.12と仮定しましたが、筆者の分析結果（続報予定）からみると、α＝1.07で、従来株と大差ありません。α＝1.07のときは、S=6500 件/日となります。

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記号の説明　

n: 都市の人口

S, S(x)：非隔離および隔離検査における1日当たりのPCR検査件数、S(x)はｘ日における1日当たり検査件数

S_c, S_c(x):選択隔離検査における1日当たりのPCR検査件数、S_ｃ(x)はｘ日における1日当たり検査件数

R, R(x): 非隔離および隔離検査における S人の被検査者中の陽性者数. R(x)はx日におけるR

R_ｃ,R_ｃ(x): 選択隔離検査におけるS_ｃ人の被検査者中の陽性者数.  

 R_ｃ(x)はx日におけるR_c             

ξ,ξ(x): (1)式で定義される陽性率。ξ(x)はx日におけるξ

ξ_c,ξ_c(x): 選択隔離検査における陽性率。ξ_c(x)はx日におけるξ_c  

r, r(x) : 市民人口n 人中の隔離されていない陽性者数

α：非隔離増殖率、（4）式で定義される、［市内］増殖率

δr(x):x-1日からｘ日にかけての1日間における［市内］陽性者数rの増減（（5）式）

δr(x)(新感): (7)式、x-1日からｘ日にかけての1日間における新規感染者数（図１参照）　

δr(x)(新回、死):(7)式。x-1日からｘ日にかけての1日間における新規回復、および死亡者数（図１参照）　

μ：新規感染率（8）式、δr(x)(新感)が前日の[市内]陽性者数r(x-1)に比例するとしたときの比例係数

ρ: 新規回復率（8）式。δr(x)(新回、死) が前日の[市内]陽性者数r(x-1)に比例するとしたときの比例係数

ｒ(1):（11）式、1回目(x=1)の検査における［市内］陽性者数（カッコつき［市内］は2.隔離検査　参照）

r(x)’ : PCR隔離検査直後における［市内］陽性者数

ξ(1): (16)式、1回目(x=1)の検査における陽性率

ξ^* :感染収束時の陽性率

β:隔離検査のときの増殖率、(21)式

β_C:選択隔離検査のときの増殖率、(36)式

R_C(x): 選択隔離検査において、S_C(x)人の被験者中に含まれ、隔離される陽性者

ξ_C:選択隔離検査における陽性率

b : 選択率、選択検査と非選択検査における陽性率の比、（31）式

ΔS _C :選択隔離検査における１週間当たりのPCR検査件数（図5）

ΔR_ｃ：選擇隔離検査における1週間当たりの新規感染者数（図5）

                           
。